Ôn tập cuối năm giải tích 12 - soanbaitap.com

Bài 1 (trang 145 SGK Giải tích 12): Cho hàm số f(x)=ax²-2(a+1)x+a+2 (a ≠ 0)

a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x) =0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a.

Lời giải:

Bảng biến thiên:

Đồ thị ( hình thang trên ).

* Khảo sát hàm số

+ Tập xác định: D = R{0}.

⇒ Đường thẳng a = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Lại có:

Do đó, đường thẳng P(a) =1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Đạo hàm:

Do đó hàm số này nghịch biến trên tập xác định.

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số

Câu hỏi 2 (trang 145 SGK Giải tích 12): Phát biểu các điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) đơn điệu trên một khoảng.

Lời giải:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

+ f(x) đồng biến trên K ⇔ f’(x) ≥ 0 với ∀ x ∈ K, f’(x) = 0 tại hữu hạn điểm.

+ f(x) nghịch biến trên K ⇔ f’(x) ≤ 0 với ∀ x ∈ K, f’(x) = 0 tại hữu

Câu hỏi 3 (trang 145 SGK Giải tích 12): Phát biểu các điều kiện đủ để hàm số f(x) có cực trị ( cực đại cực tiểu) tại điểm x_o

Lời giải:

Điều kiện để hàm có cực trị:

Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K = (x₀ – h; x₀ + h), h > 0 và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x₀}, nếu:

- f’(x) > 0 trên (x₀ – h; x₀) và f’(x) < 0 trên (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của f(x).

- f’(x) < 0 trên (x₀ – h; x₀) và f’(x) > 0 trên (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của f(x).

Bài 4 (trang 146 SGK Giải tích 12): Xét chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình:

Trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét.

a) Tính v(2), a(2), biết v(t), a(t) lần lượt là vận tốc và gia tốc chuyển động đã cho.

b) Tìm thời điểm t mà tại đó vận tốc bằng 0.

Lời giải:

Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm ta có:

a) v(t) = s’(t) = t³ - 3t² + t – 3.

⇒ v(2) = 2³ - 3.2² + 2 – 3 = -5 (m/s)

a(t) = v’(t) = s’’(t) = 3t² - 6t + 1

⇒ a(2) = 3.2² - 6.2 + 1 = 1 (m/s²)

b) v(t) = 0

⇔ t³ - 3t² + t – 3 =0

⇔ (t - 3)(t² + 1) = 0

⇔ t = 3.

Vậy thời điểm t₀ = 3s thì vận tốc bằng 0.

Bài 5 (trang 146 SGK Giải tích 12): Cho hàm số y = x⁴ + a⁴ + b

a) Tính a, b để hàm số cực trị bằng 3/2 khi x =1.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi:

a = -1/2, b = 1

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1.

Lời giải:

a) Đạo hàm y’ = 4x³ + 2ax

Hàm số có cực trị tại x = 1.

⇔ y’(1) = 0

⇔ 4.13 + 2a.1 = 0

⇔ a = -2.

b) Với  ; b = 1 thì hàm số trở thành: 

- TXĐ: D = R.

- Sự biến thiên:

+ Giới hạn:

+Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên 

Hàm số nghịch biến trên 

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y_CĐ = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại 

- Đồ thị:

Bài 5 (trang 146 SGK Giải tích 12): Cho hàm số y = x⁴ + a⁴ + b

a) Tính a, b để hàm số cực trị bằng 3/2 khi x =1.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi:

a = -1/2, b = 1

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1.

Lời giải:

a) Đạo hàm y’ = 4x³ + 2ax

Hàm số có cực trị tại x = 1.

⇔ y’(1) = 0

⇔ 4.13 + 2a.1 = 0

⇔ a = -2.

b) Với  ; b = 1 thì hàm số trở thành: 

- TXĐ: D = R.

- Sự biến thiên:

+ Giới hạn:

+Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên 

Hàm số nghịch biến trên 

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y_CĐ = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại 

- Đồ thị:

Bài 7 (trang 146 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.

b) Tìm giao điểm của (C ) và đồ thị hàm số y=x²+1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại mỗi giao điểm.

c) Tính thể tích vật tròn xoay thu được khi hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C ) và các đường thẳng y = 0; x = 1 xung quanh trục Ox.

Lời giải:

a) Hàm số 

- Tập xác định: D = R\{2}

- Sự biến thiên:

⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).

+ Cực trị : Hàm số không có cực trị

+ Tiệm cận: 

⇒ y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

b. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong :

Phương trình (*) tương đương : 2 = 2x² + 2 – x³ – x

⇔ x³ – 2x² + x = 0  ( đều thỏa mãn khác 2).

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường cong là A(0 ; 1) và B(1 ; 2)

+ Phương trình tiếp tuyến tại A là

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm B(1 ; 2) là :

y = y’(1). (x – 1) + 2 = 2(x – 1)+ 2

Hay y = 2x

Bài 7 (trang 146 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.

b) Tìm giao điểm của (C ) và đồ thị hàm số y=x²+1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại mỗi giao điểm.

c) Tính thể tích vật tròn xoay thu được khi hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C ) và các đường thẳng y = 0; x = 1 xung quanh trục Ox.

Lời giải:

a) Hàm số 

- Tập xác định: D = R\{2}

- Sự biến thiên:

⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).

+ Cực trị : Hàm số không có cực trị

+ Tiệm cận: 

⇒ y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

b. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong :

Phương trình (*) tương đương : 2 = 2x² + 2 – x³ – x

⇔ x³ – 2x² + x = 0  ( đều thỏa mãn khác 2).

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường cong là A(0 ; 1) và B(1 ; 2)

+ Phương trình tiếp tuyến tại A là

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm B(1 ; 2) là :

y = y’(1). (x – 1) + 2 = 2(x – 1)+ 2

Hay y = 2x

Bài 9 (trang 147 SGK Giải tích 12): Giải các phương trình sau:

Lời giải:

a. 13^2x+1 – 13^x - 12 = 0

⇔ 13. 13^2x – 13^x – 12 = 0 (1)

Đặt t = 13^x (t > 0), khi đó (1) trở thành:

13t² - t - 12 = 0 

Với t = 1 thì 13^x = 1 ⇔ x = 0

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 0

b. (3^x + 2^x ). (3^x +3. 2^x ) = 8. 6^x

⇔ 3^2x + 3. 3^x. 2^x + 2^x. 3^x + 3. 2^2x – 8.6^x = 0

⇔ 3^2x +4. 3^x. 2^x - 8.2^x. 3^x + 3. 2^2x = 0

⇔ 3^2x – 4. 3^x.2^x + 3.2^2x = 0 (*)

Chia cả hai vế của phương trình trên cho 2^2x ta được:

Đặt  , khi đó (1) trở thành:

t² - 4t+ 3 = 0

+ Ta có: 2log₃ (x - 2). log₅x - 2.log₃ ( x - 2) = 0

⇔ 2. log₃ (x - 2) ( log₅ x - 1) = 0

Kết hợp điều kiện , vậy nghiệm phương trình đã cho là x = 3; x = 5.

+ Điều kiện: x > 0

Đặt t = log₂x, khi đó phương trình đã cho trở thành:

t² – 5t + 6 = 0

Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình đã cho là x = 4; x = 8.

Bài 10 (trang 147 SGK Giải tích 12): Giải các bất phương trình sau:

Lời giải:

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 12 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần hình học và đại số. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 12 khác nhau.

 

 

 

#soanbaitap