Thứ Hai, 12 tháng 10, 2020

Ôn tập chương I Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông - soanbaitap.com

Ôn tập chương 1 hình học 9 là tâm huyết biên soạn của đội ngũ giáo viên dạy giỏi môn toán trên toàn quốc. Đảm bảo chính xác, dễ hiểu giúp các em hệ thống kiến thức toán 9 ôn tập chương 1 hình học và hướng dẫn giải bài tập ôn tập chương i hệ thực lượng giác tam giác vuông sgk để các em hiểu hơn.

Ôn tập chương 1 hình học 9 thuộc: CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

I. Lý thuyết ôn tập chương 1 hình học 9

1. Hệ thức về cạnh và đường cao

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, ta có:

Lý thuyết: Tổng hợp Chương 1 Hình học 9 - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Lý thuyết: Tổng hợp Chương 1 Hình học 9 - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: S = (1/2)bc = (1/2)ah.

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Lý thuyết: Tỉ số lượng giác của góc nhọn - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα.

Hay sinα = AB/BC; cosα = AC/BC; tanα = AB/AC; cotα = AC/AB.

Tính chất:

+ Nếu α là một góc nhọn thì 0 < sinα < 1; 0 < cosα < 1; tanα > 0; cotα > 0.

Ta có: sin2α + cos2α = 1;Lý thuyết: Tổng hợp Chương 1 Hình học 9 - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất tanα.cotα = 1

+ Với hai góc nhọn α, β mà α + β = 90°.

Ta có: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cotβ; cotα = tanβ.

Nếu hai góc nhọn α và β có sinα = sinβ hoặc cosα = cosβ thì α = β.

3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Lý thuyết: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với côsin góc kề.

+ Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cotg của góc kề.

b = a.sinB = a.cosC; c = a.sinC = a.cosB; b = c.tgB = c.cotgC; c = b.tgC = b.cotgC.

Chú ý: Trong một tam giác vuông nếu cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại.

II. Toán 9 ôn tập chương 1 hình học - Hướng dẫn giải bài tập vận dụng sgk

Câu 1: Cho tam giác cân ABC có đáy BC = 2a , cạnh bên bằng b (b > a) .

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Dựng BKk ⊥ AC . Tính tỷ số Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án .

Lời giải

a) Gọi H là trung điểm của BC. Theo định lý Pitago ta có:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

b) Ta có

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AKB ta có:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 2: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B, C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a, b, c .

a) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b , c

b) Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ 4√3S

Lời giải

a) Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác

ABC ⇒ B, C là các góc nhọn.

Suy ra chân đường cao hạ từ A lên BC là điểm H thuộc cạnh BC.

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Ta có: BC = BH + HC.

Áp dụng định lý Py ta go cho các tam giác vuông AHB, AHC ta có:

AB2 = AH2 + HB2; AC2 = AH2 + HC2

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHB

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

b) Từ câu a) ta có:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Câu 3: Biết sinα 5/13 . Tính cosα, tanα và cotα .

Lời giải

Xét Δ vuông tại A.

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 4: Biết sinα.cosα = 12/25. Tính sinα.cosα.

Lời giải

Biết sinα.cosα = 12/25. Để tính sinα.cosα ta cần tính sinα + cosα rồi giải phương trình với ẩn là sinα hoặc cosα.

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Ta có:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 5: Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết HD:HA = 1:2 . Chứng minh rằng tgB.tgC = 3 .

Lời giải

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 7: Ở một cái thang đơn dài có ghi “để dảm bảo an toàn cần đặt thang sao cho tạo với mặt đất một góc α thì phải thỏa mãn 60° < α < 75° . Vậy phải đặt thang cách vật thang dựa khoảng bao nhiêu để đảm bảo an toàn?

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Ta xem đề bài như hình vẽ trên

Khi đó: Khoảng an toàn nằm trong khoảng từ C đến D

Ta có:

BC = AC.cos75° = 3.cos75° ≃ 0,776 (m)

BD = ED.cos60° = 1,5 (m)

Vậy phải đặt thang cách vật dựa một đoạn l(m) thỏa mãn 0,776(m) < l < 1,5(m)

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 20m, Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E. Biết BD = 5m . Tính độ dài AE là?

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 9: Tính diện tích tam giác ABC biết Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R .

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt, nhưng tam giác ABC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam giác vuông bằng cách.

Dựng các đường thẳng qua C, B lần lượt vuông góc với AC, AB . Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng trên.

Khi đó tam giác ABD và ACD là các tam giác

vuông và 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính AD = 2R .

Ta có:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 10: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B, C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a, b, c . Chứng minh rằng:

a) Dựng đường cao BH của tam giác ABC

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Giả sử H thuộc cạnh AC .

Ta có: AC = AH + HC.

Áp dụng định lý

Pi ta go cho các tam giác vuông AHB, BHC ta có:

AB2 = AH2 + HB2, BC2 = BH2 + HC2

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

b)

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Từ đó ta suy ra: sin2α = 2sinα.cosα .

*) Xét tam giác ABC. Dựng đường cao BE ta có:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

a) a2 = b2 + c2 - 2bccosA

b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Chứng minh: Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 11: Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án .

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

III. Hướng dẫn giải bài tập ôn tập chương 1 hình học 9

Bài 33 trang 93 SGK Toán 9 Tập 1:

Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:

a) Trong hình 41, sin α bằng:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

b) Trong hình 42, sin Q bằng:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

c) Trong hình 43, cos 30o bằng:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Lời giải:

a) Chọn C

b) Chọn D

c) Chọn C vì:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Bài 34 trang 93 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Trong hình 44, hệ thức nào trong các hệ thức sau là đúng?

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

b) Trog hình 45, hệ thức nào trong các hệ thức sau không đúng ?

(A) sin2α + cos2α = 1

(B) sin α = cos β

(C) cos β = sin (90o – α)

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Lời giải:

a) Chọn C

b) Chọn C sai

- Vì đẳng thức đúng phải là: cos β = sin(90o - β)

Bài 35 trang 94 SGK Toán 9 Tập 1:

Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 19: 28. Tìm các góc của nó.

Lời giải:

Để học tốt Toán 9 | Giải toán lớp 9

Kí hiệu góc như trên hình vẽ.

Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là tg của góc nhọn này và là cotg của góc nhọn kia.

Giả sử α là góc nhọn của tam giác vuông đó.

Ta có:

Để học tốt Toán 9 | Giải toán lớp 9

=> α ≈ 34o10'

=> β ≈ 90o - 34o10' = 55o50'

(Lưu ý: Bạn cũng có thể sử dụng cotg để tính, nhưng cũng sẽ cho kết quả tương tự bởi vì tính chất lượng giác của 2 góc phụ nhau.)

Bài 36 trang 94 SGK Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác có một góc bằng 45o. Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần 20cm và 21 cm. Tính cạnh lớn trong hai cạnh còn lại (lưu ý có hai trường hợp hình 46 và hình 47).

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Lời giải:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Trường hợp hình 46: cạnh lớn trong hai cạnh còn lại được kí hiệu là x.

ΔHAB cân vì có ∠B = 45o

=> HA = HB = 20

Áp dụng định lí Pitago trong ΔHAC có:

x2 = AC2 = HA2 + HC2 = 202 + 212 = 841

=> x = 29 hay độ dài cạnh lớn trong hai cạnh còn lại là 29.

Trường hợp hình 47: cạnh lớn trong hai cạnh còn lại được kí hiệu là y.

ΔH'A'B' cân vì có ∠B' = 45o

=> H'A' = H'B' = 21

Áp dụng định lí Pitago trong ΔH'A'B' có:

y2 = A'B'2 = H'A'2 + H'B'2 = 212 + 212 = 2.212

=> y = 21√2 ≈ 29,7 hay độ dài cạnh lớn trong hai cạnh còn lại là 29,7.

Bài 37 trang 94 SGK Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Lời giải:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

a) Ta có: AB2 + AC2 = 62 + 4,52 = 7,52 = BC2

nên tam giác ABC vuông tại A. (đpcm)

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

=> ∠B = 37o

=> ∠C = 90o - ∠B = 90o - 37o = 53o

Mặt khác trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

=> AH = 3,6 cm

b) Gọi khoảng cách từ M đến BC là MK. Ta có:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Ta thấy SMBC = SABC khi MK = AH = 3,6 cm

Do đó để SMBC = SABC thì M phải nằm trên đường thẳng song song và cách BC một khoảng là 3,6 cm (có hai đường thẳng như trên hình).

Bài 39 trang 95 SGK Toán 9 Tập 1:

Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình 49 (làm tròn đến mét)

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Hình 49

Lời giải:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Kí hiệu như hình vẽ. Theo hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông:

Trong tam giác vuông ABC:

AB = AC tan 50o = 20.tan 50o = 23,83 m

=> BD = 20tan50o - 5 = 18,83 m

Trong tam giác vuông BHD:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Vậy khoảnh cách giữa hai cọc là 24,59 m.

Bài 40 trang 95 SGK Toán 9 Tập 1:

Tính chiều cao của cây trong hình 50 (làm tròn đến đề-xi-mét)

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Hình 50

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ.

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Trong tam giác vuông ABC có:

BA = AC.tan35o = 30.tan35o ≈ 21 (m)

Chiều cao của cây là:

BH = BA + AH ≈ 21 + 1,7 ≈ 22,7 (m)

Vậy chiều cao của cây là 22,7 (m) (hoặc = 227 dm).

(Ghi chú: Bạn cũng có thể làm tắt hơn như sau:

Chiều cao của cây là:

BH = BA + AH = AC.tan35o + AH = 30.tan35o + 1,7 = 22,7 m)

Bài 42 trang 96 SGK Toán 9 Tập 1:

Ở một cái thang dài 3m người ta ghi: "Để đảm bảo an toàn khi dùng thang, phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ 60o đến 70o". Đo góc thì khó hơn đo độ dài. Vậy hãy cho biết: Khi dùng thang đó chân thang phải đặt cách tường khoảng bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn?

Lời giải:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Kí hiệu như hình vẽ.

Trong tam giác vuông ABC có:

AC = BC.cosC = 3.cosC

Vì phải đặt thang tạo với mặt đất một góc 60o đến 70o nên

60o ≤ ∠C ≤ 70o

=> cos 70o ≤ cosC ≤ cos 60o

=> 3.cos 70o ≤ 3.cosC ≤ 3.cos 60o

=> 1,03 ≤ AC ≤ 1,5

Vậy phải đặt chân thang cách tường từ 1,03 m đến 1,5 m.

Vào khoảng năm 200 trước Công Nguyên, Ơratôxten, một nhà toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được "chu vi" của Trái Đất (chu vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (nay gọi là At-xu-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-xăng-đri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m.

Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ "chu vi" của Trái Đất.

(Trên hình 51 điểm S tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trưng cho thành phố A-lếch-xăng-đri-a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Hình 51

Lời giải:

Gọi c là chu vi Trái đất, góc ∠AOS = α. Ta có:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Vì các tia sáng chiếu thẳng đứng nên BC // SO do đó:

∠AOS = ∠ACB (so le trong)

Trong tam giác ABC vuông tại A có:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

Vì ∠AOS = ∠ACB nên α = 7,07o

Vậy chu vi Trái đất là:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

 

Ôn tập chương 1 hình học 9 được biên soạn bám sát chương trình sgk mới toán hình lớp 9. Được Soanbaitap.com tổng hợp và đăng trong chuyên mục giải toán 9 giúp các em tiện tra cứu và tham khảo để học tốt môn toán hình 9. Nếu thấy hay hãy comment và chia sẻ để nhiều bạn khác cùng học tập.



#soanbaitap Social https://ift.tt/2S06Bff