Bài ôn tập chương I - soanbaitap.com

Bài 1 (trang 45 SGK Giải tích 12): Phát biểu các điều kiện đồng biến và nghịch biến của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Lời giải:

- Điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

+ f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu f’(x) > 0 với ∀ x ∈ K.

+ f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu f’(x) < 0 với ∀ x ∈ K.

- Xét hàm số y = -x³ + 2x² - x - 7, ta có:

y' = -3x² + 4x – 1

+ Hàm số đồng biến

+ Hàm số nghịch biến

Vậy hàm số đồng biến trên

nghịch biến trên các khoảng và (1; +∞)

- Xét hàm số

Ta có: D = R {1}

∀ x ∈ D.

⇒ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (-∞; 1) và (1; +∞).

Bài 2 (trang 45 SGK Giải tích 12): Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số:

y = x⁴ - 2x² + 2

Lời giải:

a) Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm:

Quy tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu x_i (i = 1, 2, 3, ...) là các nghiệm của nó.

3. Tính f"(x) và f"(x_i)

4. Nếu f"(x_i) > 0 thì x_i là điểm cực tiểu.

Nếu f"(x_i) < 0 thì x_i là điểm cực đại.

b) Xét hàm số y = x⁴ - 2x² + 2, ta có:

y' = 4x³ - 4x = 4x(x² - 1)

y' = 0 ⇔ 4x(x² - 1) = 0 ⇔ x = 0; x = ±1

y" = 12x² - 4

Dựa vào Quy tắc 2, ta có:

y"(0) = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại.

y"(-1) = y"(1) = 8 > 0 ⇒ x = ±1 là hai điểm cực tiểu.

Bài 3 (trang 45 SGK Giải tích 12): Nêu cách tìm ra tiệm cận ngang và tiệm cận dứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số 

Lời giải:

a) - Cách tìm tiệm cận ngang:

+ Tính các giới hạn 

+ Nếu  hoặc  thì y = y₀ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- Cách tìm tiệm cận đứng:

Đường thẳng x = x₀ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

b) Xét hàm số:

⇒ Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2.

⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang là y = -2.

Bài 4 (trang 45 SGK Giải tích 12): Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải:

Hàm số y = f(x)

Các bước khảo sát hàm số:

1. Tìm tập xác định của hàm số

2. Sự biến thiên

- Xét chiều biến thiên:

+ Tính đạo hàm y'

+ Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu của đạo hàm y' và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

- Lập bảng biến thiên.

3. Vẽ đồ thị của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.

Bài 5 (trang 45 SGK Giải tích 12): Cho hàm số y = 2x² + 2mx + m - 1 có đồ thị là (C_m), m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1

b) Xác định m để hàm số:

i) Đồng biến trên khoảng (-1; +∞)

ii) Có cực trị trên khoảng (-1; +∞)

c) Chứng minh rằng (C_m) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Lời giải:

a) Với m = 1 ta được hàm số: y = 2x² + 2x

- TXĐ: D = R,

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = 4x + 2

y' = 0 ⇔ x = -1/2

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1/2), đồng biến trên (-1/2; +∞).

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (-1/2; -1/2)

- Đồ thị:

Ta có: 2x² + 2x = 0 ⇔ 2x(x + 1) = 0

⇒ x = 0; x = -1

+ Giao với Ox: (0; 0); (-1; 0)

+ Giao với Oy: (0; 0)

b) Xét hàm số y = 2x² + 2mx + m - 1

y' = 4x + 2m = 2(2x + m)

y' = 0 ⇒ x = -m/2

Ta có bảng xét biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta thấy :

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞)

- Hàm số có cực trị trên khoảng (-1; +∞)

c) Nhận thấy:  với mọi m.

Suy ra, giá trị cực tiểu luôn nhỏ hơn 0 với mọi m.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đường thẳng y = 0 (trục hoành) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt (đpcm).

Bài 6 (trang 45 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

f(x) = -x³ + 3x² + 9x + 2

b) Giải phương trình f'(x - 1) > 0.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x₀, biết rằng f'(x₀) = -6.

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số f(x) = -x³ + 3x² + 9x + 2

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

f'(x) = -3x² + 6x + 9

f'(x) = 0 ⇔ -3x² + 6x + 9 = 0 ⇔ x = -1; x = 3

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên (-1; 3)

Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1) và (3; +∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 3, y_CĐ = 29.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1; y_CT = -3.

- Đồ thị:

+ Giao với trục tung tại (0; 2).

+ Đi qua các điểm (-2; 4); (2; 24).

b) f’(x) = -3x² + 6x + 9.

⇒ f’(x – 1) = -3(x – 1)² + 6.(x – 1) + 9.

Ta có: f'(x - 1) > 0

⇔ -3(x - 1)² + 6(x - 1) + 9 > 0

⇔ -3(x² - 2x + 1) + 6x - 6 + 9 > 0

⇔ -3x² + 6x - 3 + 6x - 6 + 9 > 0

⇔ -3x² + 12x > 0

⇔ -x² + 4x > 0

⇔ x(4 - x) > 0 ⇔ 0 < x < 4

c) Ta có: f"(x) = -6x + 6

Theo bài: f"(x₀) = -6 ⇔ -6x₀ + 6 = -6 ⇔ x₀ = 2

Tại y₀ = 2, f’(2) = -3.2² + 6.2 + 9 = 9 ; f(2) = -2³ + 3.2² + 9.2 + 2 = 24.

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ y₀ = 2 là :

y = 9(x - 2) + 24 hay y = 9x + 6.

Bài 7 (trang 45-46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

y = x³ + 3x² + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo m:

x³ + 3x² + 1 = m/2

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số y = x³ + 3x² + 1

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 3x² + 6x = 3x(x + 2)

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2) và (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; y_CT = 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = -2 ; y_CĐ = 5.

- Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; 1).

+ Đồ thị (C) đi qua điểm (–3; 1), (1; 5).

b) Số nghiệm của phương trình x³ + 3x² + 1 = m/2 bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m/2.

Từ đồ thị ta có:

+ Đường thẳng cắt đồ thị tại 1 điểm khi và chỉ khi :

⇒ phương trình có 1 nghiệm.

+ Để đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi :

⇒ Phương trình có hai nghiệm.

+ Với  ⇔ 2 < m < 10.

⇒ Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm

⇒ Phương trình có ba nghiệm phân biệt.

c) Điểm cực đại A(-2; 5) và điểm cực tiểu B(0; 1).

⇒ vtcp của đường thẳng AB: 

⇒ vtpt của AB: 

Đường thẳng AB : qua A( -2 ; 5) và có VTPT  nên có phương trình:

2(x+2)+ 1( y – 5) = 0 hay 2x + y - 1 = 0

Bài 8 (trang 46 SGK Giải tích 12): Cho hàm số: f(x) = x³ - 3mx² + 3(2m - 1)x + 1 (m là tham số).

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

b) Với giá trị nào của tham số m thì hàm số có một cực đại và một cực tiểu?

c) Xác định m để f"(x) > 6x.

Lời giải:

a) TXĐ: D = R

f'(x) = 3x² - 6mx + 3(2m - 1)

Hàm số đồng biến trên R

⇔ f’(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

⇔ Δ_f'(x) = (3m)² - 3.3(2m-1) ≤ 0

⇔ 9m² – 18m + 9 ≤ 0

⇔ 9.(m – 1)² ≤ 0

⇔ (m – 1)² = 0

⇔ m = 1.

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

⇔ phương trình f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

⇔ Δ_f'(x) = 9(m - 1)² > 0

⇔ m ≠ 1

c) Ta có: f"(x) = 6x - 6m

f"(x) > 6x ⇔ 6x - 6m > 6x

⇔ - 6m > 0 ⇔ m < 0

Bài 9 (trang 46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

b) Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f"(x) = 0.

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x⁴ - 6x² + 3 = m.

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số 

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

f'(x) = 2x³ - 6x = 2x(x² - 3)

f'(x) = 0 ⇔ 2x(x² - 3) = 0 ⇔ x = 0; x = ±√3

+ Giới hạn tại vô cực:

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên (-√3; 0) và (√3; +∞).

Hàm số nghịch biến trên (-∞; -√3) và (0; √3).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 

Hàm số đạt cực tiểu tại x =  ; y_CT = -3.

- Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số nhận trục tung là trục đối xứng.

+ Đồ thị cắt trục tung tại (0; 1,5).

b) Ta có: f"(x) = 6x² - 6 = 6(x² - 1)

f"(x) = 0 ⇔ 6(x² - 1) ⇔ x = ±1 ⇒ y = -1

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (-1; -1) là:

y = f'(-1)(x + 1) - 1 ⇒ y = 4x + 3

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (1; -1) là:

y = f'(1)(x - 1) - 1 ⇒ y = -4x + 3

c) Ta có: x⁴ - 6x² + 3 = m

Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) y = m/2.

Từ đồ thị (C) nhận thấy :

+ m/2 < - 3 ⇔ m < -6

⇒ đường thẳng (d) không cắt đồ thị (C)

⇒ Phương trình vô nghiệm.

+ m/2 = -3 ⇔ m = -6

⇒ đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm cực tiểu

⇒ Phương trình có 2 nghiệm.

+ -3 < m/2 < 3/2 ⇔ -6 < m < 3

⇒ đường thẳng (d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt

⇒ Phương trình có 4 nghiệm.

+ m/2 = 3/2 ⇔ m = 3

⇒ đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm

⇒ phương trình có 3 nghiệm.

+ m/2 > 3/2 ⇔ m > 3

⇒ đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm

⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Vậy:

+) m < - 6 thì phương trình vô nghiệm.

+) m = - 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm.

+) m = 3 thì PT có 3 nghiệm.

+) – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm.

Bài 10 (trang 46 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

y = -x⁴ + 2mx² - 2m + 1 (m tham số)

có đồ thị là (C_m).

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

d) Với giá trị nào của m thì (C_m) cắt trục hoành?

c) Xác định để (C_m) có cực đại, cực tiểu.

Lời giải:

a) y' = -4x³ + 4mx = 4x(m - x²)

y' = 0 ⇔ 4x(m - x²) = 0 ⇔ 

y’’ = -12x² + 4m.

- Nếu m ≤ 0, phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.

Mà y’’(0) = 4m < 0

⇒ x = 0 là điểm cực đại và là cực trị duy nhất của hàm số.

- Nếu m > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 nên phương trình y’= 0 có 3 nghiệm

⇒ hàm số có 3 cực trị.

b) – Xét m ≤ 0, phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.

Ta có bảng biến thiên :

(C_m) cắt trục hoành ⇔ 1 – 2m ≥ 0

⇔ m ≤  (thỏa mãn với mọi m ≤ 0) (1)

- Xét m > 0, phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm 0 ; 

Ta có bảng biến thiên :

(C_m) cắt trục hoành ⇔ (m – 1)² ≥ 0 (thỏa mãn với mọi m) (2)

Kết hợp (1) và (2) suy ra (C_m) cắt trục hoành với mọi m ∈ R.

c) Dựa vào bảng biến thiên phần b) ta có :

(C_m) có cực đại, cực tiểu ⇔ m > 0

Bài 11 (trang 46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Xác định m sao cho độ dài MN nhỏ nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của C cắt hai tiệm cận của C tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số 

- TXĐ: D = R \ {-1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

⇒ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

⇒ x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

⇒ y = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

+ Giao với Ox: (-3; 0)

+ Giao với Oy: (0; 3)

+ Đồ thị hàm số nhận (-1; 1) là tâm đối xứng.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) y = 2x + m là:

⇔ (2x + m)(x + 1) = x + 3

⇔ 2x² + mx + 2x + m = x + 3

⇔ 2x² + (m + 1)x + m – 3 = 0 (*)

Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt

⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ = (m + 1)² – 8(m – 3) > 0

⇔ m² – 6m + 25 > 0

⇔ (m – 3)² + 16 > 0

Đúng với ∀ m ∈ R.

Vậy với mọi m ∈ R, (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt MN.

c) Gọi M(x_M; y_M); N(x_N; y_N)

⇒ x_M; x_N là nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Vi-et ta có :

Dấu "=" xảy ra ⇔ m - 3 = 0 ⇔ m = 3

Vậy độ dài MN nhỏ nhất khi m = 3.

d) Gọi  là điểm thuộc (C).

+ Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại S là:

+ Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng x = -1 là:

Tại x = -1 thì

⇒ Giao điểm 

+ Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang y = 1:

Tại y = 1

⇒ Giao điểm Q(2x₀ + 1; 1)

Ta có:

⇒ S là trung điểm PQ (đpcm).

Bài 12 (trang 47 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

a) Giải phương trình f'(sin x) = 0.

b) Giải phương trình f"(cos x) = 0.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f"(x) = 0.

Lời giải:

a) Ta có: f'(x) = x² - x - 4

⇒ f'(sinx) = sin²x – sin x – 4.

f’(sin x) = 0

⇔ sin²x - sinx - 4 = 0

Do đó phương trình vô nghiệm.

b) Ta có: f"(x) = 2x - 1

⇒ f"(cosx) = 2cos x – 1.

f’’(cos x) = 0

⇔ 2cosx - 1 = 0

⇒ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 1/2 là:

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 12 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần hình học và đại số. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 12 khác nhau.

 

 

 

#soanbaitap