Cực trị của hàm số - soanbaitap.com

Bài 1 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x³ + 3x² - 36x - 10

Lời giải:

a) TXĐ: D = R

y' = 6x² + 6x - 36

y' = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Kết luận :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; y_CĐ = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y_CT = -54.

b) TXĐ: D = R

y'= 4x³ + 4x = 4x(x² + 1) = 0;

y' = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y_CT = -3

hàm số không có điểm cực đại.

c) TXĐ: D = R {0}

y' = 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; y_CĐ = -2;

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y_CT = 2.

d) TXĐ: D = R

y'= (x³)’.(1 – x)² + x³.[(1 – x)²]’

= 3x².(1 – x)² + x³.2(1 – x).(1 – x)’

= 3x²(1 – x)² - 2x³(1 – x)

= x².(1 – x)(3 – 5x)

y' = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x =

hàm số đạt cực tiểu tại x_CT = 1.

(Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

e) Tập xác định: D = R.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/2.

Bài 2 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x⁴ - 2x² + 1 ;

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ;

d) y = x⁵ - x³ - 2x + 1

Lời giải:

a) TXĐ: D = R.

+ y' = 4x³ - 4x

y' = 0 ⇔ 4x(x² – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

+ y" = 12x² - 4

y"(0) = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

y"(1) = 8 > 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

y"(-1) = 8 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) TXĐ: D = R

+ y' = 2cos2x – 1;

+ y" = -4.sin2x

⇒  (k ∈ Z) là các điểm cực đại của hàm số.

⇒  (k ∈ Z) là các điểm cực tiểu của hàm số.

c) TXĐ: D = R

+ y’ = cos x – sin x.

+ y’’ = -sin x – cos x = 

⇒  là các điểm cực đại của hàm số.

⇒  là các điểm cực tiểu của hàm số.

d) TXĐ: D = R

+ y'= 5x⁴ - 3x² - 2

y' = 0 ⇔ 5x⁴ – 3x² – 2 = 0

⇔ x = ±1.

+ y" = 20x³ - 6x

y"(-1) = -20 + 6 = -14 < 0

⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

y"(1) = 20 – 6 = 14 > 0

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Kiến thức áp dụng

Tìm điểm cực trị của hàm số :

1. Tìm tập xác định

2. Tính f’(x). Tìm các giá trị x_i để f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.

3. Tính f’’(x). Xét dấu f’’(x_i).

4. Kết luận : Các điểm x_i làm cho f’’(x_i) < 0 là các điểm cực đại

Các điểm x_i làm cho f’’(x_i) > 0 là các điểm cực tiểu.

Bài 3 (trang 18 SGK Giải tích 12): Chứng minh hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.

Lời giải:

Hàm số có tập xác định D = R và liên tục trên R.

+ Chứng minh hàm số  không có đạo hàm tại x = 0.

Xét giới hạn   :

⇒ Không tồn tại giới hạn 

Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa theo định nghĩa).

Ta có : f(x) > 0 = f(0) với ∀ x ∈ (-1 ; 1) và x ≠ 0

⇒ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.

Kiến thức áp dụng

Hàm số y = f(x) liên tục trên (a ; b) và x₀ ∈ (a ; b).

+ Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ nếu tồn tại giới hạn 

+ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x₀ nếu tồn tại số dương h sao cho f(x) > f(x₀) với ∀ x ∈ (x₀ – h ; x₀ + h) và x ≠ x₀.

Bài 4 (trang 18 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

y = x³ - mx² - 2x + 1

luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

TXĐ: D = R

+ y' = 3x² - 2mx – 2

y’ = 0 ⇔ 3x² – 2mx – 2 = 0 ⇔ 

+ y’’ = 6x – 2m.

⇒  là một điểm cực đại của hàm số.

⇒  là một điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Kiến thức áp dụng

Xét y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x₀ – h ; x₀ + h), h > 0.

+ f’(x₀) = 0 và f’’(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu.

+ f’(x₀) = 0 và f’’(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.

Bài 5 (trang 18 SGK Giải tích 12): Tìm a và b để các cực trị của hàm số

đều là nhưng số dương và x_o = -5/9 là điểm cực đại.

Lời giải:

TXĐ: D = R.

+ y’ = 5a²x² + 4ax – 9.

⇒ y’’ = 10a²x + 4a.

- Nếu a = 0 thì y’ = -9 < 0 với ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số không có cực trị (loại)

- Nếu a ≠ 0.

Các cực trị của hàm số đều dương

Các cực trị của hàm số đều dương

Vậy  hoặc  là các giá trị cần tìm.

Kiến thức áp dụng

Xét y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x₀ – h ; x₀ + h), h > 0.

+ f’(x₀) = 0 và f’’(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu.

+ f’(x₀) = 0 và f’’(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.

Bài 6 (trang 18 SGK Giải tích 12): Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số  đạt giá trị cực đại tại x = 2.

Lời giải:

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ -m – 1 = 2 ⇔ m = -3.

Vậy m = -3.

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 12 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần hình học và đại số. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 12 khác nhau.

 

 

 

#soanbaitap