Ôn tập cuối năm – Hình học - soanbaitap.com

B - Phần Hình Học

Bài 1 (trang 131 SGK Toán 8 tập 2): Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết ba cạnh: AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm và đường chéo AC = 5cm.

Lời giải:

* Dựng hình:

- Dựng tam giác ADC có AD = 2cm, DC = 4cm, CA = 5cm.

- Dựng tia Ax song song với CD.

- Đường tròn (C; 3cm) cắt Ax tại B₁ và B₂.

Hình thang ABCD với B ≡ B₁ hoặc B ≡ B₂ là hình thang cần dựng.

* Chứng minh

+ Tứ giác ABCD có AD = 2cm, DC = 4cm, CA = 5cm.

+ Ax // CD ⇒ AB // CD ⇒ ABCD là hình thang.

+ B ∈ (C; 3cm) ⇒ BC = 3cm.

* Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình.

Bài 2 (trang 131 SGK Toán 8 tập 2): Cho hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau ở O và tam giác ABO là tam giác đều. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OD và BC. Chứng minh rằng tam giác EFG là tam giác đều.

Lời giải:

ΔAOB đều ⇒ BE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

⇒ BE ⊥ AO

⇒ ΔBEC vuông tại E

Mà EG là đường trung tuyến

⇒  (1)

ΔCOD đều ⇒ CF là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

⇒ CF ⊥ OD

⇒ ΔBFC vuông tại F

Mà FG là đường trung tuyến

⇒  (2)

Hình thang ABCD (AB// CD) có: AC = AO + OC = OB + OD = BD

⇒ ABCD là hình thang cân

⇒ AD = BC.

ΔAOD có: AE = EO, FO = FD

⇒ EF là đường trung bình của ΔAOD

⇒ 

Mà AD = BC (cmt)

⇒  (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra EF = FG = GE ⇒ ΔEFG đều (đpcm).

Bài 3 (trang 131 SGK Toán 8 tập 2): Tam giác ABC có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K. Tam giác ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là:

a) Hình thoi? ;     b) Hình chữ nhật?

Lời giải:

Ta có: CE ⊥ AB (gt)

KB ⊥ AB (gt)

⇒ BK // CE (1)

Tương tự BH // KC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BHCK là hình bình hành.

Gọi M là giao điểm của hai đường chéo BC và HK.

a) Tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC

⇒ AH ⊥ BC. (3)

BHCK là hình thoi

⇔ HM ⊥ BC ( trong đó M là giao điểm của hai đường chéo HK và BC) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: A, H, M thẳng hàng.

Khi đó,tam giác ABC có AM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác ABC là cân tại A.

b) BHCK là hình chữ nhật

Vậy BHCK là hình chữ nhật khi tam giác ABC vuông tại A.

Bài 4 (trang 132 SGK Toán 8 tập 2): Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi E là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm BN và CM. Hình bình hình ABCD phải có điều kiện gì để tứ giác MENK là:

a) Hình thoi? ;

b) Hình chữ nhật? ;

c) Hình vuông?

Lời giải:

ABCD là hình bình hành ⇒ AB = CD.

M là trung điểm AB ⇒ AM = MB = AB/2.

N là trung điểm CD ⇒ CN = DN = CD/2.

⇒ AM = MB = CN = DN.

+ Tứ giác BMDN có: BM // DN và BM = DN

⇒ BMDN là hình bình hành

⇒ DM // BN hay ME // NK

+ Tứ giác AMCN có: AM // NC, AM = NC

⇒ AMCN là hình bình hành

⇒ AN // CM hay EN // MK.

+ Tứ giác MENK có: ME // NK và NE // MK

⇒ MENK là hình bình hành.

a) MENK là hình thoi

⇔ MN ⊥ EK.

⇔ CD ⊥ AD (Vì EK // CD và MN // AD)

⇔ ABCD là hình chữ nhật.

b) MENK là hình chữ nhật

⇔ MN = EK

Mà MN = BC;  (vì tam giác MCD có E và K lần lượt là trung điểm MD, MC nên EK là đường trung bình của tam giác MCD).

⇔ CD = 2.BC.

c) MENK là hình vuông

⇔ MENK là hình thoi và đồng thời là hình chữ nhật

⇔ ABCD là hình chữ nhật và có CD = 2.BC.

Bài 6 (trang 132 SGK Toán 8 tập 2): Cho tam giác ABC và đường trung tuyến BM. Trên đoạn thẳng BM lấy điểm D sao cho BD/DM = 1/2. Tia AD cắt BC ở K. Tìm tỉ số diện tích của tam giác ABK và tam giác ABC.

Lời giải:

Kẻ ME song song với AK (E ∈ BC).

Ta có: 

ME là đường trung bình của tam giác ACK nên EC = KE = 2BK.

Ta có: BC = BK + KE + EC = 5BK 

 (hai tam giác ABK và ABC có chung đường cao hạ từ A)

Bài 7 (trang 132 SGK Toán 8 tập 2): Cho tam giác ABC (AB < AC). Tia phân giác của góc A cắt BC ở K. Qua trung điểm M của BC kẻ một tia song song với KA cắt đường thẳng AB ở D, cắt AC ở E. Chứng minh BD = CE.

Lời giải:

AK là đường phân giác của tam giác ABC nên:

Ta có: MD // AK

⇒ ΔABK  ΔDBM và ΔECM  ΔACK

Từ (1) và (2) ta có: 

Do BM = CM (giả thiết) nên từ (3) suy ra: BD = CE.

Bài 8 (trang 132 SGK Toán 8 tập 2): Trên hình 151 cho thấy ta có thể xác định chiều rộng BB' của khúc sông bằng cách xét hai tam giác đồng dạng ABC và AB'C'. Hãy tính BB' nếu AC = 100m, AC' = 32cm, AB' = 34m.

Hình 151

Lời giải:

Bài 9 (trang 132 SGK Toán 8 tập 2): Cho tam giác ABC có AB < AC, D là một điểm nằm giữa A và C. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Ta chứng minh hai chiều:

Bài 10 (trang 132 SGK Toán 8 tập 2): 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 12cm, AD = 16cm, AA' = 25cm.

a) Chứng minh rằng các tứ giác ACCA', BDD'B' là những hình chữ nhật.

b) Chứng minh rằng AC'² = AB² + AD² + AA'².

c) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật.

Lời giải:

a) ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật

⇒ AA’ // CC’, AA’ = CC’

⇒ AA’C’C là hình bình hành

Lại có : AA’ ⊥ (ABCD) ⇒ AA’ ⊥ AC ⇒ 

⇒ Hình bình hành AA’C’C là hình chữ nhật.

Chứng minh tương tự được tứ giác BDD'B' là những hình chữ nhật

b) Áp dụng định lý Pytago:

Trong tam giác vuông ACC’ ta có:

AC’² = AC² + CC’² = AC² + AA’²

Trong tam giác vuông ABC ta có:

AC² = AB² + BC² = AB² + AD²

Do đó: AC’² =AB² + AD² + AA’².

c) Hình hộp chữ nhật được xem như hình lăng trụ đứng.

Diện tích xung quanh:

Sxq = 2.(AB + AD).AA’

= 2.(12 + 16).25

= 1400 (cm² )

Diện tích một đáy:

S_đ = AB.AD

= 12.16

= 192 (cm² )

Diện tích toàn phần:

S_tp = S_xq + 2S_đ

= 1400 + 2.192

= 1784 (cm² )

Thể tích:

V = AB.AD.AA’

= 12.16.25

= 4800 (cm³ )

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 8 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán Đại 8 và Toán Hình 8. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 8 khác nhau

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#soanbaitap