Phương trình đường Elip - soanbaitap.com

Bài 1 (trang 88 SGK Hình học 10): Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau:

Lời giải

a) có a = 5, b = 3 ⇒ c = √(a² – b²) = 4.

Tọa độ các đỉnh là A₁ = (–5 ; 0) ; A₂ = (5 ; 0) ; B₁ = (0 ; –3) ; B₂ = (0 ; 3)

Tọa độ hai tiêu điểm là F₁ = (–4 ; 0) và F₂ = (4 ; 0)

Độ dài trục lớn bằng A₁A₂ = 10

Độ dài trục nhỏ bằng B₁B₂ = 6.

Tọa độ các đỉnh là : A₁ = (–3 ; 0) ; A₂ = (3 ; 0) ; B₁ = (0 ; –2) ; B₂ = (0 ; 2)

Tọa độ hai tiêu điểm là F₁ = (–√5 ; 0) và F₂ = (√5 ; 0)

Độ dài trục lớn là A₁A₂ = 2a = 6

Độ dài trục nhỏ là B₁B₂ = 2b = 4.

Bài 2 (trang 88 SGK Hình học 10): Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a, Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6.

b, Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Lời giải

a) Độ dài trục lớn bằng 8 ⇒ 2a = 8 ⇒ a = 4

Độ dài trục nhỏ bằng 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: 

b) Độ dài trục lớn bằng 10 ⇒ 2a = 10 ⇒ a = 5

Tiêu cự bằng 6 ⇒ 2c = 6 ⇒ c = 3

⇒ b² = a² – c² = 16 ⇒ b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: 

Kiến thức áp dụng

+ Độ dài trục lớn bằng 2a

+ Độ dài trục nhỏ bằng 2b

+ Tiêu cự bằng 2c với c thỏa mãn b² = a² – c².

Bài 3 (trang 88 SGK Hình học 10): Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Elip đi qua các điểm M(0; 3) và  ;

b) Elip có một tiêu điểm là  và điểm  nằm trên elip.

Lời giải

Gọi Elip cần tìm có dạng : (E) : 

Vậy phương trình chính tắc của elip: 

b)  là tiêu điểm của (E) ⇒ a² – b² = 3 ⇒ a² = b² + 3

Phương trình chính tắc của Elip là : 

Kiến thức áp dụng

Elip  có hai tiêu điểm F₁ (–c ; 0) và F₂ (c ; 0) với c² = a² – b².

Bài 4 (trang 88 SGK Hình học 10):

Để một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40cm, người ta vẽ hình elip trên tấm ván ép như hình dưới. Hỏi phải ghìm hai cái đinh cách mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Lời giải

Giả sử Elip có phương trình 

Độ dài trục lớn bằng 80cm ⇒ 2a = 80cm ⇒ a =40cm

Độ dài trục nhỏ bằng 40cm ⇒ 2b = 40cm ⇒ b = 20cm

Khi đó  ⇒ F₁F₂ = 2c = 40√3 cm

Khoảng cách từ vị trí hai chiếc đinh F₁, F₂ đến hai mép là:

Độ dài vòng dây cuốn: MF₁ + MF₂ + F₁F₂ = 2a + 2c = 80 + 40√3 ≈ 149,3cm.

Kiến thức áp dụng

Elip (E)  có :

+ Độ dài trục lớn bằng 2a.

+ Độ dài trục nhỏ bằng 2b

+ Hai tiêu điểm F₁ (–c ; 0) và F₂ (c ; 0). F₁F₂ = 2c.

+ Với mọi M thuộc (E) thì MF₁ + MF₂ = 2a.

Bài 5 (trang 88 SGK Hình học 10):

Cho hai đường tròn C₁(F₁,R₁) và C₂(F₂,R₂) . C₁ nằm trong C₂ và F₁ ≠F₂ . Đường tròn C thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C₁ và tiếp xúc trong với C₂. Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn C di động trên một elip.

Lời giải

Gọi C(M ; R).

C tiếp xúc ngoài với C1 ⇒ MF₁ = R + R₁

C tiếp xúc trong với C2 ⇒ MF₂ = R₂ – R

⇒ MF₁ + MF₂ = R + R₁ + R₂ – R = R₁ + R₂ = const.

Điểm M có tổng các khoảng cách MF1 + MF2 đến hai điểm cố định F1 và F2 bằng một độ dài không đổi R1 + R2.

Vậy M nằm trên elip có hai tiêu điểm F₁, F₂ và có độ dài trục lớn bằng R₁ + R₂.

Kiến thức áp dụng

Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho:

F₁M + F₂M = 2a

Trong đó F₁, F₂ là hai điểm cố định và 2a là một độ dài không đổi lớn hơn F₁F₂.

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 10 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần hình học và đại số. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 10 khác nhau.

 

 

#soanbaitap