Ôn tập chương I Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông - soanbaitap.com

Ôn tập chương 1 hình học 9 là tâm huyết biên soạn của đội ngũ giáo viên dạy giỏi môn toán trên toàn quốc. Đảm bảo chính xác, dễ hiểu giúp các em hệ thống kiến thức toán 9 ôn tập chương 1 hình học và hướng dẫn giải bài tập ôn tập chương i hệ thực lượng giác tam giác vuông sgk để các em hiểu hơn.

Ôn tập chương 1 hình học 9 thuộc: CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

I. Lý thuyết ôn tập chương 1 hình học 9

1. Hệ thức về cạnh và đường cao

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, ta có:

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: S = (1/2)bc = (1/2)ah.

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα.

Hay sinα = AB/BC; cosα = AC/BC; tanα = AB/AC; cotα = AC/AB.

Tính chất:

+ Nếu α là một góc nhọn thì 0 < sinα < 1; 0 < cosα < 1; tanα > 0; cotα > 0.

Ta có: sin²α + cos²α = 1; tanα.cotα = 1

+ Với hai góc nhọn α, β mà α + β = 90°.

Ta có: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cotβ; cotα = tanβ.

Nếu hai góc nhọn α và β có sinα = sinβ hoặc cosα = cosβ thì α = β.

3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với côsin góc kề.

+ Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cotg của góc kề.

b = a.sinB = a.cosC; c = a.sinC = a.cosB; b = c.tgB = c.cotgC; c = b.tgC = b.cotgC.

Chú ý: Trong một tam giác vuông nếu cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại.

II. Toán 9 ôn tập chương 1 hình học - Hướng dẫn giải bài tập vận dụng sgk

Câu 1: Cho tam giác cân ABC có đáy BC = 2a , cạnh bên bằng b (b > a) .

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Dựng BKk ⊥ AC . Tính tỷ số .

Lời giải

a) Gọi H là trung điểm của BC. Theo định lý Pitago ta có:

b) Ta có

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AKB ta có:

Câu 2: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B, C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a, b, c .

a) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b , c

b) Chứng minh: a² + b² + c² ≥ 4√3S

Lời giải

a) Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác

ABC ⇒ B, C là các góc nhọn.

Suy ra chân đường cao hạ từ A lên BC là điểm H thuộc cạnh BC.

Ta có: BC = BH + HC.

Áp dụng định lý Py ta go cho các tam giác vuông AHB, AHC ta có:

AB² = AH² + HB²; AC² = AH² + HC²

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHB

b) Từ câu a) ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Câu 3: Biết sinα 5/13 . Tính cosα, tanα và cotα .

Lời giải

Xét Δ vuông tại A.

Câu 4: Biết sinα.cosα = 12/25. Tính sinα.cosα.

Lời giải

Biết sinα.cosα = 12/25. Để tính sinα.cosα ta cần tính sinα + cosα rồi giải phương trình với ẩn là sinα hoặc cosα.

Ta có:

Câu 5: Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết HD:HA = 1:2 . Chứng minh rằng tgB.tgC = 3 .

Lời giải

Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:

Lời giải

Câu 7: Ở một cái thang đơn dài có ghi “để dảm bảo an toàn cần đặt thang sao cho tạo với mặt đất một góc α thì phải thỏa mãn 60° < α < 75° . Vậy phải đặt thang cách vật thang dựa khoảng bao nhiêu để đảm bảo an toàn?

Ta xem đề bài như hình vẽ trên

Khi đó: Khoảng an toàn nằm trong khoảng từ C đến D

Ta có:

BC = AC.cos75° = 3.cos75° ≃ 0,776 (m)

BD = ED.cos60° = 1,5 (m)

Vậy phải đặt thang cách vật dựa một đoạn l(m) thỏa mãn 0,776(m) < l < 1,5(m)

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 20m, . Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E. Biết BD = 5m . Tính độ dài AE là?

Câu 9: Tính diện tích tam giác ABC biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R .

Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt, nhưng tam giác ABC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam giác vuông bằng cách.

Dựng các đường thẳng qua C, B lần lượt vuông góc với AC, AB . Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng trên.

Khi đó tam giác ABD và ACD là các tam giác

vuông và 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính AD = 2R .

Ta có:

Câu 10: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B, C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a, b, c . Chứng minh rằng:

a) Dựng đường cao BH của tam giác ABC

Giả sử H thuộc cạnh AC .

Ta có: AC = AH + HC.

Áp dụng định lý

Pi ta go cho các tam giác vuông AHB, BHC ta có:

AB² = AH² + HB², BC² = BH² + HC²

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

b)

Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:

Từ đó ta suy ra: sin2α = 2sinα.cosα .

*) Xét tam giác ABC. Dựng đường cao BE ta có:

a) a² = b² + c² - 2bccosA

b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Chứng minh:

Câu 11: Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng .

III. Hướng dẫn giải bài tập ôn tập chương 1 hình học 9

Bài 33 trang 93 SGK Toán 9 Tập 1:

Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:

a) Trong hình 41, sin α bằng:

b) Trong hình 42, sin Q bằng:

c) Trong hình 43, cos 30^o bằng:

Lời giải:

a) Chọn C

b) Chọn D

c) Chọn C vì:

Bài 34 trang 93 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Trong hình 44, hệ thức nào trong các hệ thức sau là đúng?

b) Trog hình 45, hệ thức nào trong các hệ thức sau không đúng ?

(A) sin²α + cos²α = 1

(B) sin α = cos β

(C) cos β = sin (90^o – α)

Lời giải:

a) Chọn C

b) Chọn C sai

- Vì đẳng thức đúng phải là: cos β = sin(90^o - β)

Bài 35 trang 94 SGK Toán 9 Tập 1:

Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 19: 28. Tìm các góc của nó.

Lời giải:

Kí hiệu góc như trên hình vẽ.

Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là tg của góc nhọn này và là cotg của góc nhọn kia.

Giả sử α là góc nhọn của tam giác vuông đó.

Ta có:

=> α ≈ 34^o10'

=> β ≈ 90^o - 34^o10' = 55^o50'

(Lưu ý: Bạn cũng có thể sử dụng cotg để tính, nhưng cũng sẽ cho kết quả tương tự bởi vì tính chất lượng giác của 2 góc phụ nhau.)

Bài 36 trang 94 SGK Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác có một góc bằng 45^o. Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần 20cm và 21 cm. Tính cạnh lớn trong hai cạnh còn lại (lưu ý có hai trường hợp hình 46 và hình 47).

Lời giải:

- Trường hợp hình 46: cạnh lớn trong hai cạnh còn lại được kí hiệu là x.

ΔHAB cân vì có ∠B = 45^o

=> HA = HB = 20

Áp dụng định lí Pitago trong ΔHAC có:

x² = AC² = HA² + HC² = 20² + 21² = 841

=> x = 29 hay độ dài cạnh lớn trong hai cạnh còn lại là 29.

- Trường hợp hình 47: cạnh lớn trong hai cạnh còn lại được kí hiệu là y.

ΔH'A'B' cân vì có ∠B' = 45^o

=> H'A' = H'B' = 21

Áp dụng định lí Pitago trong ΔH'A'B' có:

y² = A'B'² = H'A'² + H'B'² = 21² + 21² = 2.21²

=> y = 21√2 ≈ 29,7 hay độ dài cạnh lớn trong hai cạnh còn lại là 29,7.

Bài 37 trang 94 SGK Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Lời giải:

a) Ta có: AB² + AC² = 6² + 4,5² = 7,5² = BC²

nên tam giác ABC vuông tại A. (đpcm)

=> ∠B = 37^o

=> ∠C = 90^o - ∠B = 90^o - 37^o = 53^o

Mặt khác trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

=> AH = 3,6 cm

b) Gọi khoảng cách từ M đến BC là MK. Ta có:

Ta thấy S_MBC = S_ABC khi MK = AH = 3,6 cm

Do đó để S_MBC = S_ABC thì M phải nằm trên đường thẳng song song và cách BC một khoảng là 3,6 cm (có hai đường thẳng như trên hình).

Bài 39 trang 95 SGK Toán 9 Tập 1:

Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình 49 (làm tròn đến mét)

Hình 49

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ. Theo hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông:

Trong tam giác vuông ABC:

AB = AC tan 50^o = 20.tan 50^o = 23,83 m

=> BD = 20tan50^o - 5 = 18,83 m

Trong tam giác vuông BHD:

Vậy khoảnh cách giữa hai cọc là 24,59 m.

Bài 40 trang 95 SGK Toán 9 Tập 1:

Tính chiều cao của cây trong hình 50 (làm tròn đến đề-xi-mét)

Hình 50

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ.

Trong tam giác vuông ABC có:

BA = AC.tan35^o = 30.tan35^o ≈ 21 (m)

Chiều cao của cây là:

BH = BA + AH ≈ 21 + 1,7 ≈ 22,7 (m)

Vậy chiều cao của cây là 22,7 (m) (hoặc = 227 dm).

(Ghi chú: Bạn cũng có thể làm tắt hơn như sau:

Chiều cao của cây là:

BH = BA + AH = AC.tan35^o + AH = 30.tan35^o + 1,7 = 22,7 m)

Bài 42 trang 96 SGK Toán 9 Tập 1:

Ở một cái thang dài 3m người ta ghi: "Để đảm bảo an toàn khi dùng thang, phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ 60^o đến 70^o". Đo góc thì khó hơn đo độ dài. Vậy hãy cho biết: Khi dùng thang đó chân thang phải đặt cách tường khoảng bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn?

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ.

Trong tam giác vuông ABC có:

AC = BC.cosC = 3.cosC

Vì phải đặt thang tạo với mặt đất một góc 60^o đến 70^o nên

60^o ≤ ∠C ≤ 70^o

=> cos 70^o ≤ cosC ≤ cos 60^o

=> 3.cos 70^o ≤ 3.cosC ≤ 3.cos 60^o

=> 1,03 ≤ AC ≤ 1,5

Vậy phải đặt chân thang cách tường từ 1,03 m đến 1,5 m.

Vào khoảng năm 200 trước Công Nguyên, Ơratôxten, một nhà toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được "chu vi" của Trái Đất (chu vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (nay gọi là At-xu-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-xăng-đri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m.

Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ "chu vi" của Trái Đất.

(Trên hình 51 điểm S tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trưng cho thành phố A-lếch-xăng-đri-a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).

Hình 51

Lời giải:

Gọi c là chu vi Trái đất, góc ∠AOS = α. Ta có:

Vì các tia sáng chiếu thẳng đứng nên BC // SO do đó:

∠AOS = ∠ACB (so le trong)

Trong tam giác ABC vuông tại A có:

Vì ∠AOS = ∠ACB nên α = 7,07^o

Vậy chu vi Trái đất là:

 

Ôn tập chương 1 hình học 9 được biên soạn bám sát chương trình sgk mới toán hình lớp 9. Được Soanbaitap.com tổng hợp và đăng trong chuyên mục giải toán 9 giúp các em tiện tra cứu và tham khảo để học tốt môn toán hình 9. Nếu thấy hay hãy comment và chia sẻ để nhiều bạn khác cùng học tập.

#soanbaitap Social https://ift.tt/2S06Bff