Nguyên hàm - soanbaitap.com

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu:

a) f(x) = 3x² với x ∈ (-∞; +∞);

b) f(x) = 1/(cos⁡x)² với x ∈ ((-π)/2; π/2).

Lời giải:

F(x) = x³ vì (x³)' = 3x²

F(x) = tanx vì (tanx)' = 1/(cos⁡x)² .

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93: Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.

Lời giải:

(x) = x² + 2 do (F(x))'=( x² + 2)’ = 2x + 0 = 2x. Tổng quát F(x) = x² + c với c là số thực.

F(x) = lnx + 100, do (F(x))’ = 1/x , x ∈ (0,+∞). Tổng quát F(x)= lnx + c, x ∈ (0,+∞) và với c là số thực.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93: Hãy chứng minh Định lý 1.

Lời giải:

Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))' = f(x). Vì C là hằng số nên (C)’ = 0.

Ta có:

(G(x))' = (F(x) + C)' = (F(x))' + (C)' = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một nguyên hàm của f(x).

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 95: Hãy chứng minh Tính chất 3.

Lời giải:

Ta có [∫f(x) ± ∫g(x)]'= [∫f(x) ]'± [∫g(x) ]' = f(x)±g(x).

Vậy ∫f(x) ± ∫g(x) = ∫[f(x)±g(x)].

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 96: Lập bảng theo mẫu dưới đây rồi dùng bảng đạo hàm trang 77 và trong SGK Đại số và Giải tích 11 để điền vào các hàm số thích hợp vào cột bên phải.

Lời giải:

f’(x)	f(x) + C
0	C
αxα -1	xα + C
1/x (x ≠ 0)	ln⁡(x) + C nếu x > 0, ln⁡(-x) + C nếu x < 0.
ex	ex + C
axlna (a > 1, a ≠ 0)	ax + C
Cosx	sinx + C
- sinx	cosx + C
1/(cosx)2	tanx + C
(-1)/(sinx)2	cotx + C

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 98:

a) Cho ∫(x - 1)¹⁰ dx. Đặt u = x – 1, hãy viết (x - 1)¹⁰dx theo u và du.

b)∫ . Đặt x = e^t, hãy viết  theo t và dt.

a) Ta có (x - 1)¹⁰dx = u¹⁰ du (do du = d(x - 1) = dx.

b) Ta có dx = d(e^t) = e^t dt, do đó 

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 99: Ta có (xcosx)’ = cosx – xsinx hay - xsinx = (xcosx)’ – cosx.

Hãy tính ∫ (xcosx)’ dx và ∫ cosxdx. Từ đó tính ∫ xsinxdx.

Lời giải:

Ta có ∫ (xcosx)’dx = (xcosx) và ∫ cosxdx = sinx. Từ đó

∫ xsinxdx = - ∫ [(xcosx)’ – cosx]dx = -∫ (xcosx)’dx + ∫ cosxdx = - xcosx + sinx + C.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 100: Cho P(x) là đa thức của x. Từ Ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền u và dv thích hợp vào chỗ trống theo phương pháp nguyên phân hàm từng phần.

∫ P(x)ex dx	∫ P(x)cosxdx	∫ P(x)lnxdx
P(x)
exdx

Lời giải:

∫ P(x)ex dx	∫ P(x)cosxdx	∫ P(x)lnxdx
P(x)	P(x)	P(x)lnx
exdx	cosxdx	dx

Bài 1 (trang 100 SGK Giải tích 12): Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

Lời giải:

a) Ta có: (-e^-x)' = -e^-x.(-x)' = e^-x

⇒ -e^-x là một nguyên hàm của hàm số e^-x

Lại có : ( e^-x )’ = e^-x. (-x)’ = - e^-x

Suy ra, e^-x là một nguyên hàm của hàm số -e^-x

Vậy 

b) (sin²x)' = 2.sinx.(sinx)' = 2.sinx.cosx = sin2x

⇒ sin²x là một nguyên hàm của hàm số .

 là một nguyên hàm của hàm số 

Kiến thức áp dụng

+ F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu:

f’(x) = F(x)

+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tất cả các hàm số có dạng F(x) + C (C là một hằng số bất kì) đều là nguyên hàm của hàm số f(x).

Kí hiệu: 

Bài 2 (trang 100 SGK Giải tích 12): Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

+ Các công thức nguyên hàm :

Bài 3 (trang 101 SGK Giải tích 12): 3. Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:

Lời giải:

a) Đặt u = 1 - x ⇒ u’(x) = -1⇒ du = -dx hay dx = - du

Thay u = 1 – x vào kết quả ta được :

b) Đặt u = 1 + x² ⇒ u' = 2x ⇒ du = 2x.dx 

Thay lại u = 1+ x² vào kết quả ta được:

c) Đặt u = cosx ⇒ u' = -sinx ⇒ du = -sinx.dx

Thay lại u = cos x vào kết quả ta được:

d) Ta có:

Kiến thức áp dụng

+ Phương pháp đổi biến số:

Nếu hàm u = u(x) có đạo hàm liên tục

⇒ du = u'(x)dx

Khi đó ta có:

+ Một số công thức nguyên hàm:

Bài 4 (trang 101 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

Lời giải:

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

b) Đặt

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

Kiến thức áp dụng

+ Phương pháp nguyên hàm từng phần:

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) - ∫u'(x).v(x)dx

hay viết ngắn gọn:

∫udv = uv - ∫vdu

+ Một số công thức nguyên hàm:

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 12 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần hình học và đại số. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 12 khác nhau.

#soanbaitap