Ôn tập chương 3 - soanbaitap.com

Bài 1 (trang 107 SGK Đại số 11):

Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?

Lời giải:

Cấp số cộng (u_n) có công sai d.

+ (u_n) là dãy tăng

⇔ u_{n + 1} > u_n ∀ n ∈ N

⇔ u_{n + 1} – u_n > 0 ∀ n ∈ N

⇔ d > 0

+ (u_n) là dãy giảm

⇔ u_{n + 1} < u_n ∀ n ∈ N

⇔ u_{n + 1} – u_n < 0 ∀ n ∈ N

⇔ d < 0

Bài 2 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho cấp số nhân có u₁ < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:

a.q > 0

b.q < 0

Lời giải:

CSN (u_n) : u_n = u₁.q^{n – 1}, u₁ < 0

a. q > 0 ⇒ q^{n – 1} > 0 ⇒ u₁.q^{n – 1} < 0 (vì u₁ < 0)

⇒ u_n < 0 với mọi n ∈ N*.

Vậy với q > 0 và u₁ < 0 thì các số hạng đều mang dấu âm.

b. q < 0.

+ Nếu n chẵn ⇒ n – 1 lẻ ⇒ q^{n – 1} < 0

⇒ u₁.q^{n – 1} > 0 (vì u₁ < 0).

⇒ u_n > 0.

+ Nếu n lẻ ⇒ n – 1 chẵn ⇒ q^{n – 1} > 0

⇒ u₁.q^{n – 1} < 0 (Vì u₁ < 0).

⇒ u_n < 0.

Vậy nếu q < 0, u₁ < 0 thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm.

Kiến thức áp dụng

CSN (u_n) có công bội q ; số hạng đầu u₁ thì số hạng thứ n là : u_n = u₁.q^{n – 1}.

Bài 3 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Lời giải:

Giả sử có hai cấp số cộng (u_n) với công sai d₁ và (v_n) với công sai d₂.

Xét dãy (a_n) với a_n = u_n + v_n

Ta có: a_{n + 1} – a_n = (u_{n + 1} + v_{n + 1}) – (u_n + v_n)

= (u_n + d₁ + v_n + d₂) – (u_n + v_n)

= d₁ + d₂ = const

⇒(a_n) là cấp số cộng với công sai d₁ + d₂.

Ví dụ:

CSC (u_n): 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; …. có công sai d₁ = 3 ;

CSC (v_n): 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 … có công sai d₂ = 2.

⇒ (a_n): 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; … có công sai d = 5.

Kiến thức áp dụng

Để chứng minh dãy (a_n) là CSC ta cần chứng minh a_{n + 1} – a_n = d là một hằng số với mọi n ∈ N*.

Bài 4 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Lời giải:

Giả sử có hai cấp số nhân (u_n) với công bội q₁ và (v_n) với công bội q₂.

Xét dãy số (a_n) với a_n = u_n.v_n với mọi n ∈ N*.

Ta có:

⇒ (a_n) là cấp số nhân với công bội q₁.q₂.

Ví dụ:

+ CSN (u_n) : 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; … có công bội q₁ = 2.

+ CSN (v_n) : -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; … có công bội q₂ = -1.

⇒ CSN (a_n) : -2 ; 4 ; -8 ; 16 ; -32 ; 64 ; … có công bội q = -2.

Kiến thức áp dụng

Để chứng minh (a_n) là một CSN ta cần chứng minh  là một hằng số với mọi n ∈ N*.

Bài 5 (trang 107 SGK Đại số 11): Chứng minh với mọi n ∈ N*, ta có:

a. 13ⁿ – 1 chia hết cho 6

b. 3n³ + 15 chia hết cho 9

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

a. Đặt u_n = 13ⁿ – 1

+ Với n = 1 thì u₁ = 13 – 1 = 12 chia hết 6

+ Giả sử: u_k = 13^k – 1 chia hết cho 6.

⇒ u_{k + 1} = 13^{k + 1} – 1

= 13^k+1 + 13^k – 13^k – 1

= 13^k(13 – 1) + 13^k – 1

= 12.13^k + u_k.

Mà 12.13^k ⋮ 6; u_k ⋮ 6.

⇒ u_{k + 1} ⋮ 6.

⇒ u_n ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

hay 13ⁿ – 1 ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

b. Đặt u_n = 3n³ + 15n

+ Với n = 1 ⇒ u₁ = 18 ⋮ 9.

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có: u_k = (3k³ + 15k) ⋮ 9

⇒ u_k+1 = 3(k + 1)³ + 15(k + 1 )

= 3(k³ + 3k² + 3k + 1) + 15k + 15

= (3k³ + 15k) + 9k² + 9k + 18

= (3k³ + 15k) + 9(k² + k + 2)

= u_k + 9(k² + k + 2)

Mà u_k ⋮ 9 và 9(k² + k + 2) ⋮ 9

⇒ u_{k + 1} ⋮ 9.

Vậy u_n = 3n³ + 15n ⋮ 9 ∀n ∈ N*

Kiến thức áp dụng

+ Chứng minh mệnh đề (P) đúng với mọi số tự nhiên n bằng phương pháp quy nạp ta làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1

Cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

⇒ Mệnh đề đúng với mọi n ∈ N.

Bài 6 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2, u_{n+ 1} = 2u_n – 1 (với n ≥ 1)

a.Viết năm số hạng đầu của dãy.

b.Chứng minh u_n = 2^n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a. 5 số hạng đầu dãy là:

u₁ = 2;

u₂ = 2u₁ – 1 = 3;

u₃ = 2u₂ – 1 = 5;

u₄ = 2u₃ – 1 = 9;

u₅ = 2u₄ – 1 = 17

b. Chứng minh u_n = 2^{n – 1} + 1 (1)

+ Với n = 1 ⇒ u₁ = 2^{1 - 1} + 1 = 2 (đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là u_k = 2^k-1 + 1 (1)

Ta chứng minh: u_k+1 = 2^k + 1. Thật vậy, ta có:

⇒ u_k+1 = 2.u_k – 1 = 2(2^k-1 + 1) – 1 = 2.2^{k – 1} + 2 – 1 = 2^k + 1

⇒ (1) cũng đúng với n = k + 1 .

Vậy u_n = 2^{n – 1} + 1 với mọi n ∈ N.

Kiến thức áp dụng

Có ba cách cho một dãy số :

+ Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát .

Ví dụ : Cho dãy (u_n) với 

+ Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi .

Ví dụ : Cho dãy (u_n): 

+ Dãy số cho bằng phương pháp mô tả (ít gặp).

Trong một số bài toán ta có thể chuyển từ dãy số dạng truy hồi về dãy số dạng tổng quát.

Bài 7 (trang 107 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (u_n), biết:

Lời giải:

⇒ u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ N

⇒ (u_n) là dãy tăng.

+ Xét tính bị chặn:

(u_n) là dãy tăng

⇒ u₁ = 2 < u₂ < u₃ < …< u_n ∀n ∈ N*

⇒ u_n ≥ 2 ∀n ∈ N*

⇒ (u_n) bị chặn dưới.

(u_n) không bị chặn trên.

⇒ u_n không bị chặn.

Suy ra: Với n chẵn ⇒ n – 1 lẻ ⇒ (-1)^{n – 1} = -1 ⇒ u_n < 0

Với n lẻ ⇒ n – 1 chẵn ⇒ (-1)^{n – 1} = 1 ⇒ u_n > 0.

⇒ u₁ > u₂ < u₃ > u₄ < u₅ > u₆ …

⇒ (u_n) không tăng không giảm.

+ Xét tính bị chặn :

Với ∀ n ∈ N:

⇒ -1 ≤ u_n ≤ 1.

Vậy (u_n) bị chặn.

+ Xét tính tăng giảm.

Với mọi n ∈ N ta có:

⇒ u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ N.

⇒ (u_n) là dãy số giảm.

+ Xét tính bị chặn.

u_n > 0 với mọi n.

⇒ (u_n) bị chặn dưới.

u_n ≤ u₁ = √2 - 1 với mọi n

⇒ (u_n) bị chặn trên.

⇒ (u_n) bị chặn.

Kiến thức áp dụng

+ Dãy số (u_n) là dãy số tăng ⇔ ∀ n ∈ N ⇔ ∀ n ∈ N.

+ Dãy số (u_n) bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u_n > m với ∀ n ∈ N

bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u_n < M với ∀ n ∈ N.

+ Dãy số (u_n) bị chặn ⇔ (u_n) bị chặn trên và chặn dưới.

Bài 8 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu u₁ và công sai d của các cấp số cộng (u_n), biết:

Lời giải:

b)

Kiến thức áp dụng

CSC (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì có:

Số hạng tổng quát: u_n = u₁ + (n - 1)d

Tổng của n số hạng đầu tiên:

Bài 9 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu u₁ và công bội q của các cấp số nhân (u_n), biết:

Lời giải:

Dùng công thức: u_n = u₁.q^n-1 với n ≥ 2

a)

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ u₁.2⁵ = 192 ⇔ u₁ = 6

Vậy u₁ = 6 và q = 2

b) Ta có

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ 2u₁(4 – 1) = 72 ⇔ u₁ = 12

Vậy u₁ = 12 và q = 2

c) Ta có:

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ 2u₁(1 + 8 - 4) = 10 ⇔ u₁ = 1

Vậy u₁ = 1 và q = 2

Kiến thức áp dụng

CSN (u_n) có số hạng đầu tiên u₁ và công bội q thì có số hạng tổng quát : u_n = u₁.q^{n - 1}

Bài 10 (trang 108 SGK Đại số 11): Tứ giác ABCD có số đo của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp năm lần góc A. Tính các góc của tứ giác.

Lời giải:

Kí hiệu: ∠ : góc

Các góc của tứ giác là ∠A, ∠B, ∠C, ∠D (∠A > 0) tạo thành cấp số cộng:

⇒ ∠B = ∠A + d,

∠C = ∠A + 2d,

∠D = ∠A + 3d.

Theo giả thiết, góc C gấp năm lần góc A nên:

∠C = 5∠A

⇒ ∠A + 2d = 5∠A

⇒ 2d = 4∠A

hay d = 2.∠A

Tổng 4 góc của 1 tứ giác bằng 360º nên ta có:

⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

⇒ ∠A + ∠A + d + ∠A + 2d + ∠A + 3d = 360º

=> 4∠A +6d = 360º

⇒ 4∠A + 12∠A = 360º ( do d = 2.ºA)

⇒ 16∠A = 360º

⇒ ∠A = 22º30'

⇒ d = 45º.

Vậy ∠A = 22º30' ; ∠B = 67º30'; ∠C = 112º30’; ∠D = 157º30'

Kiến thức áp dụng

+ Cấp số cộng (u_n) có u_n = u₁ + (n – 1).d với u₁ là số hạng đầu tiên và d là công sai.

+ Tổng 4 góc trong một tứ giác bằng 360º.

Bài 11 (trang 108 SGK Đại số 11): Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Lời giải:

Gọi công bội của CSN x ; y ; z là q.

⇒ y = x.q ; z = x.q².

Lại có : x ; 2y ; 3z lập thành CSC

⇔ 2y – x = 3z – 2y

⇔ 2.xq – x = 3.xq² – 2.xq

⇔ x(2q – 1) = x.(3q² – 2q)

⇔ x.(3q² – 4q + 1) = 0

+ Nếu x = 0 ⇒ y = z = 0

⇒ q không xác định.

+ Nếu x ≠ 0 ⇒ 3q² – 4q + 1 = 0 ⇔ q = 1 hoặc 

Vậy CSN có công bội q = 1 hoặc 

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 11 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần hình học và đại số. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 11 khác nhau.

 

 

 

#soanbaitap