Ôn tập cuối năm - soanbaitap.com

Bài 1 (trang 178 SGK Đại số 11 Bài tập ): Cho hàm số y = cos2x.

a) Chứng minh rằng cos 2(x + kπ) = cos 2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số y = cos 2x.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = π/3.

c) Tìm tập xác định của hàm số :

Lời giải:

a) + Hàm số y = cos x có chu kì 2π.

Do đó: cos 2.(x + kπ) = cos (2x + k2π) = cos 2x.

⇒ Hàm số y = cos 2x cũng tuần hoàn với chu kì π.

Từ đó suy ra

b. y = f(x) = cos 2x

⇒ y’ = f’(x) = (cos 2x)’ = -(2x)’.sin 2x = -2.sin 2x.

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = π/3 là:

c. Ta có: 1 – cos 2x = 2.sin²x ≥ 0.

Và 1 + cos²2x > 0; ∀ x

⇒ luôn xác định với mọi x ∈ R.

Bài 2 (trang 178 SGK Đại số 11): Cho biết chu kì của mỗi hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.

Lời giải:

a. Hàm số y = sinx và y = cosx là hàm số tuần hoàn có chu kì là 2 π.

b. Hàm số y = tanx và y = cotx là các hàm số tuần hoàn có chu kì là π.

Bài 3 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu cách giải phương trình lượng giác cơ bản , cách giải phương trình asinx + bcosx = c.

Lời giải:

a) Cách giải các phương trình lượng giác cơ bản:

+ Phương trình sin x = a.

Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho sin α = a.

Khi đó phương trình trở thành sin x = sin α

⇒ Phương trình có nghiệm: 

+ Phương trình cos x = a.

Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho cos α = a.

Khi đó phương trình trở thành cos x = cos α.

⇒ Phương trình có nghiệm: x = ±α + k2π (k ∈ Z).

+ Phương trình tan x = a.

Tìm một cung α sao cho tan α = a.

Khi đó phương trình trở thành tan x = tan α.

⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z).

+ Phương trình cot x = a

Tìm một cung α sao cho cot α = a.

Khi đó phương trình trở thành cot x = cot α.

⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z).

b) Cách giải phương trình a.sin x + b.cos x = c.

+ Nếu a = 0 hoặc b = 0 ⇒ Phương trình lượng giác cơ bản .

+ a ≠ 0 và b ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Ta giải phương trình trên như phương trình lượng giác cơ bản.

Bài 4 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết công thức tính số hoán vị của tập hợp gồm n phần tử (n > 1). Nêu ví dụ.

Lời giải:

+ Cho tập A gồm n phần tử.

Mỗi hoán vị của A là kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A.

+ Số các hoán vị: P_n = n! = 1.2.3.4.5….n.

Ví dụ: Số hoán vị của tập gồm 6 phần tử là: P₆ = 6! = 720.

Số hoán vị của tập gồm 3 phần tử là: P₃ = 6.

Bài 5 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử. Cho ví dụ.

Lời giải:

+ Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

+ Số tổ hợp chập k của n phần tử:

+ Ví dụ:

- Số chỉnh hợp chập 3 của 5: 

- Số tổ hợp chập 3 của 5: 

- Chọn ngẫu nhiên 5 bông hoa trong số 8 bông hoa khác nhau để cắm vào 5 lọ khác nhau:

⇒ Có  cách chọn.

- Chọn ngẫu nhiên 5 bông hoa trong số 8 bông hoa khác nhau

⇒ Có  cách chọn.

Bài 6 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết công thức nhị thức Niutơn.

Lời giải:

Công thức nhị thức Niutơn:

(a+b)ⁿ = C_n⁰ aⁿ + C_n¹a^n-1 b + … C_n^ka^n-k b^k + ... + C_n^n-1a b^n-1 + C_nⁿ bⁿ.

Chú ý: số hạng T_(k+1) =C_n^k a^(n-k)b^k được gọi là số hạng tổng quát của khái triển (a+b)ⁿ.

Bài 7 (trang 178 SGK Đại số 11): Phát biểu định nghĩa xác suất của biến cố.

Lời giải:

Giả sử A là một biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu Ω chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Kí hiệu n(Ω), n(A) theo thứ tự là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử và số phần tử của A. Ta gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A) là tỉ số sau:

Bài 8 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu rõ các bước chứng minh bằng quy nạp toán học và cho ví dụ

Lời giải:

+ Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì ta làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1 .

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1. Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1.

Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với n ∈ N*.

+ Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có: n³ + 5n chia hết cho 6.

Chứng minh: Đặt P(n) = n³ + 5n.

Với n =1 ⇒ P(1) = 6 ⋮ 6

Giả sử (P_n) chia hết cho 6 đúng với n=k ≥1, nghĩa là, ta có:

P(k) = (k³ + 5k) ⋮ 6.

Ta có: P(k+1) = (k+1)³ + 5(k+1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 5k + 5 = k³ + 5k + 3(k² + k) + 6

Mặt khác, theo giả thiết quy nạp ta có: k³ + 5k ⋮6.

Hơn nữa k² + k = k(k+1) : 2 ( hai số tự nhiên tiếp k, k +1 phải có một số chẵn do k(k+1):2).

Do vậy P(k+1)⋮6. Tức mệnh đề đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp, ta có P(n) = n³ + 5n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N*.

Bài 9 (trang 178 SGK Đại số 11): Phát biểu định nghĩa cấp số cộng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một số không đổi d.

Lời giải:

+ Định nghĩa: cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

(u_n): u_{n + 1} = u_n + d

+ Tổng n số hạng đầu tiên của CSC:

Bài 10 (trang 178 SGK Đại số 11): Phát biểu định nghĩa cấp số nhân và công thức tổng n số hạng đầu tiên của một cập số nhân.

Lời giải:

+ Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó từ số hạng thứ hai; mỗi số hạng đều là tích các số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

(u_n) : u_{n + 1} = u_n.q.

+ Tổng n số hạng đầu tiên của CSN.

Bài 11 (trang 178 SGK Đại số 11): Dãy số u_n thỏa mãn điều kiện gì thì được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực?

Lời giải:

Bài 12 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải:

+ Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q thỏa mãn |q| < 1 được gọi là một CSN lùi vô hạn.

+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn :

Bài 13 (trang 178 SGK Đại số 11): Định nghĩa hàm số có giới hạn + ∞ khi x -> - ∞

Lời giải:

Bài 14 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu các giới hạn đặc biệt của dãy số.

Lời giải:

Bài 15 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu định nghĩa hàm liên tục tại một điểm, trên một khoảng. Nêu nhận xét về đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng.

Lời giải:

+ Hàm số liên tục tại một điểm

+ Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một đoạn [a; b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a;b) và

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.

Bài 16 (trang 178 SGK Đại số 11): Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số y=f(x)tại x=x_o.

Lời giải:

Bài 16 (trang 178 SGK Đại số 11): Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số y=f(x)tại x=x_o.

Lời giải:

Bài 17 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết tất cả các quy tắc tính đạo hàm đã học

Lời giải:

+ Đạo hàm của các hàm số thường thấy.

+ Đạo hàm của hàm hợp :

Hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u’(x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y’(u) thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là :

y’(x) = y’(u).u’(x).

Bài 18 (trang 178 SGK Đại số 11): Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_o. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g = f(x) có đạo hàm tại x_o. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g = f(x) tại M_o (x_o;f(x_o )).

Lời giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M_o (x_o;f(x_o )) có dạng : y = f’(x_o)(x – x_o) + y_o, trong đó y_o = f(x_o).

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 11 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần hình học và đại số. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 11 khác nhau.

 

 

 

 

#soanbaitap