Giải bài 10 trang 114 SGK Hình học 11: - soanbaitap.com

Giải bài 10 trang 114 SGK Hình học 11:

Bài 10 trang 114 SGK Hình học 11 thuộc Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian. Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng \(a\). Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \( ABCD\).

a) Tính độ dài đoạn thẳng \(SO\).

b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(SC\). Chứng minh hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((SAC)\) vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài đoạn \(OM\) và tính góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\).

Phương pháp giải chi tiết

a) Hình chóp tứ giác đều nên \(SO\bot (ABCD)\). Do đó \(SO\bot AC\)

Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\):

\(SO = \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\)

b) \(BD\bot AC\) , \(BD\bot SO\) nên \(BD \bot (SAC)\),

Mà \(BD ⊂ (MBD)\) do đó \((MBD) ⊥ (SAC)\).

c) \(OM =\dfrac{SC}{2}=\dfrac{a}{2}\) (trung tuyến ứng với  cạnh huyền của tam giác vuông thì bằng nửa cạnh ấy).

\( \Delta SDC = \Delta SBC(c.c.c)\) suy ra \(DM=BM\) suy ra tam giác \(BDM\) cân tại \(M\)

\(OM\) vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(OM\bot BD\)

\(\left. \matrix{
(MBD) \cap (ABCD) = BD \hfill \cr
OM \bot BD \hfill \cr
OC \bot BD \hfill \cr} \right\}\)

\( \Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\) là \(\widehat {MOC}\)

Ta có \(OM=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{a}{2}\) hay \(OM=MC\) Tam giác \(OMC\) vuông cân tại \(M\)

\((\widehat{(MBD);(ABCD)})=(\widehat{MOC})=45^{0}.\)

Các kiến thức áp dụng giải bài 10 trang 114 SGK Hình học 11

a) Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông.

b) Chứng minh \(BD \bot (SAC)\) và sử dụng lý thuyết: Nếu một đường thẳng vuông góc với một phẳng thì mọi mặt phẳng chứa đường thẳng này đều vuông góc mặt phẳng kia.

c) Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Giải bài 10 trang 114 SGK Hình học 11 được đăng ở chuyên mục Giải Toán 11 và biên soạn theo phần Toán hình 11 thuộc SKG Toán lớp 11. Bài giải toán lớp 11 được biên soạn bởi các thầy cô giáo dạy văn tư vấn, nếu thấy hay hãy chia sẻ và comment để nhiều bạn

#soanbaitap