Giải bài 3 trang 45 SGK Hình học 10:

Giải bài 3 trang 45 SGK Hình học 10:

Bài 3 trang 45 SGK Hình học 10 thuộc Chương II: Tích vô hướng của 2 véc tơ và ứng dụng. Bài 2: Tích vô hướng của 2 véc tơ

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có  đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại \(I\).

a) Chứng minh \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\);

b)  Hãy dùng câu a) để tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\) theo \(R.\)

Lời giải cụ thể

Câu a)

Phương pháp giải:

Cho hai vecto \(\overrightarrow a\) và \( \overrightarrow b \) đều khác vecto \( \overrightarrow 0. \) Khi đó tích vô hướng của vecto \(\overrightarrow a\) và \( \overrightarrow b \) được xác định bởi công thức sau:

\[\overrightarrow a \overrightarrow {.b}  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right).\]

Giải chi tiết:

Ta có :  \(\left( {\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} } \right) \)\(= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {AI}  \bot \overrightarrow {MB} \) nên \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB}  = 0\)

Từ đó: \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BI} \left( {\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {NA} } \right) \)\(= \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {BI}  \bot \overrightarrow {NA} \) nên \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA}  = 0\)

Từ đó: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \)

Câu b)

Phương pháp giải:

Cho hai vecto \(\overrightarrow a\) và \( \overrightarrow b \) đều khác vecto \( \overrightarrow 0. \) Khi đó tích vô hướng của vecto \(\overrightarrow a\) và \( \overrightarrow b \) được xác định bởi công thức sau:

\[\overrightarrow a \overrightarrow {.b}  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right).\]

Giải chi tiết:

\(\eqalign{& \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\cr& = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} \cr&= \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) \cr & = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4^2} \cr} \)

Giải bài 3 trang 45 SGK Hình học 10 được đăng ở chuyên mục Giải Toán 10 và biên soạn theo phần Hình học 10 thuộc SKG Toán lớp 10. Bài giải toán lớp 10 được biên soạn bởi các thầy cô giáo dạy văn tư vấn, nếu thấy hay hãy chia sẻ và comment để nhiều bạn khác cùng học tập cùng