Giải bài 3 trang 141 SGK Đại số và Giải tích 11: - soanbaitap.com

Giải bài 3 trang 141 SGK Đại số và Giải tích 11:

Bài 3 trang 141 SGK Đại số và Giải tích 11 thuộc Chương IV: Giới hạn. Bài 3:Hàm số liên tục

Đề bài

Cho hàm số

\(f(x) = \left\{\begin{matrix} 3x + 2; & x<-1\\ x^{2}-1 & x \geq -1 \end{matrix}\right.\)

a)Vẽ đồ thị của hàm số \(y = f(x)\). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.

Lời giải cụ thể

Câu a)

Phương pháp giải:

Khi \(x<-1\), vẽ đường thẳng \(y=3x+2\).

Khi \(x \ge -1\), vẽ parabol \(y=x^2-1\).

Lưu ý: Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Nhận xét về tính liên tục của hàm số (Đồ thị hàm số có bị gãy khúc tại điểm nào không?)

Lời giải chi tiết:

Khi \(x<-1\), đồ thị hàm số là đường thẳng \(y=3x+2\), khi \( x \ge -1\) đồ thị hàm số là parabol \(y=x^2-1\).

 

Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) là một đường không liền nét mà bị đứt quãng tại \(x_0= -1\). Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng \((-∞; -1)\) và \((- 1; +∞)\).

Câu b)

Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại điểm \(x_0\) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( \right)\)

Lời giải chi tiết:

+) Nếu \(x < -1\): \(f(x) = 3x + 2\) liên tục trên \((-∞; -1)\) (vì đây là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định của nó).

+) Nếu \(x> -1\): \(f(x) = x^2- 1\) liên tục trên \((-1; +∞)\) (vì đây là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định của nó).

+) Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = -1\);

Ta có

\(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{\lim} f(x) = \)\(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{\lim} (3x + 2) = 3(-1) +2 = -1\).

\(\underset{x\rightarrow -1^{+}}{\lim} f(x) = \underset{x\rightarrow -1^{+}}{\lim} (x^2- 1)\)\( = (-1)^2- 1 = 0\).

Vì \(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{\lim} f(x) ≠ \underset{x\rightarrow -1^{+}}{\lim} f(x)\) nên không tồn tại \(\underset{x\rightarrow -1}{\lim} f(x)\).

Vậy hàm số gián đoạn tại \(x_0= -1\).

Giải Bài 3 trang 141 SGK Đại số và Giải tích 11 được đăng ở chuyên mục Giải Toán 11 và biên soạn theo phần  Toán đại 11 thuộc SKG Toán lớp 11. Bài giải toán lớp 11 được biên soạn bởi các thầy cô giáo dạy văn tư vấn, nếu thấy hay hãy chia sẻ và comment để nhiều bạn

#soanbaitap