Các dạng toán về Phương trình bậc 2 một ẩn và Phương pháp giải - soanbaitap.com

Các dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn và phương pháp giải giúp các bạn học sinh nắm vững kiến thức về các dạng Phương Trình bậc 2 một ẩn như

Giải và biện luận phương trình bậc 2 .

Xác định tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa điều kiện cho trước.

Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

Phương trình quy về phương trình bậc hai.

Giải hệ phương trinh bậc 2 hai ẩn.

I. Lý thuyết về Phương trình bậc 2

1. Giải và biện luận phương trình bậc 2

• Phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)  (*)

Δ = b2 - 4ac

♦ Nếu Δ < 0 ⇔ Tập nghiệm: S = Ø

♦ Nếu Δ = 0 ⇔ Tập nghiệm:

♦ Nếu Δ > 0 ⇔ Tập nghiệm:

2. Định lý Vi-ét

• Nếu (*) có 2 nghiệm x1 và x2 thì:

và

• Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2:

- Nếu a + b + c = 0

- Nếu a - b + c = 0

• Nếu hai số x và y có S = x + y và P = x.y thì x, y là nghiệm của phương trình bậc 2: t2 - St + P = 0.

II. Các dạng Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn

° Dạng 1: Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc 2 (PT bậc 2 chứa tham số)

* Phương pháp: Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0.

♦ Cách giải: Xét các trường hợp đặc biệt:

◊ a + b + c = 0

◊ a - b + c = 0

◊ b = 2b' (hệ số b chẵn)

◊ Phương trình dạng x2 - Sx + P = 0 (nhẩm nghiệm)

♦ Biện luận:

◊ Xét trường hợp a = 0.

◊ Khi a ≠ 0, xét dấu tích ac và tính Δ = b2 - 4ac.

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

° Lời giải ví dụ 1:

a) Vì a + b + c =  nên nhẩm nghiệm ta thấy phương trình đã cho có 2 nghiệm:

b) Ta có: ;

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm

c) Xét trường hợp m = 1: Phương trình đã cho có nghiệm x = -1;

Trường hợp m ≠ 1: Ta có a - b + c = 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm:

* Ví dụ 2: Giải biện luận các phương trình sau:

a) (m+1)x2 + (3m+1)x + 2(m-1) = 0.

b)

° Lời giải ví dụ 2:

a) (m+1)x2 + (3m+1)x + 2(m-1) = 0. (*)

• Trường hợp m = -1: Phương trình (*) trở thành:

-2x - 4 = 0 ⇒ x = -2 là nghiệm của phương trình.

• Trường hợp m ≠ -1: Δ  = m2 + 6m + 9 = (m+3)2

◊ m = - 3 thì Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:

◊ m ≠ - 3 thì Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

b)  (*)

- Điều kiện x≠2 và x≠0.

- Quy đồng khử mẫu ta được:

(*) ⇔ mx2 - 3x + 2m = 0

• Trường hợp m = 0: Phương trình trở thành: -3x = 0 ⇔ x = 0 (loại).

• Trường hợp m ≠ 0: Δ = 9 - 8m2

◊ Δ < 0 ⇔  phương trình vô nghiệm

◊ Δ = 0 ⇔  Phương trình có nghiệm kép

Với  (nhận)

Với  (nhận)

◊ Δ > 0 ⇔  Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Hai nghiệm này nhận được (thỏa điều kiện) khi và chỉ khi:

- Như vậy ta có kết luận:

hoặc  hoặc m = 0: PT vô nghiệm

: PT có nghiệm kép

: PT có nghiệp kép

m = 1: PT có nghiệp đơn x = 2

và m≠0; m≠1: PT có hai nghiệm phân biệt.

° Dạng 2: Xác định tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

* Ví dụ 1 (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x2 - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10):

- Ta có : 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (*)

- Để PT (*) có hai nghiệm phân biệt thì Δ’ = b'2 - ac > 0

⇔ (m + 1)2 – 3.(3m – 5) > 0

⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0

⇔ m2 – 7m + 16 > 0

⇔ (m – 7/2)2 + 15/4 > 0

- Ta thấy, Δ’ > 0 với mọi m ∈ R nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

- Gọi hai nghiệm của (*) là x1; x2 khi đó theo Vi-ét ta có:

và  (1)

- Theo bài ra, Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, nên không mất tính tổng quát khi giả sử x2 = 3.x1, khi thay vào (1) suy ra:

⇔ m2 + 2m + 1 = 4(3m-5)

⇔ m2 - 10m + 21 = 0

⇔ m = 3 hoặc m = 7

◊ TH1: m = 3, PT (*) trở thành 3x2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

◊ TH2: m = 7, PT (*) trở thành 3x2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

- Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.

* Ví dụ 2: Cho phương trình: (m+1)x2 - 4m(m+1)x - m = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.

° Lời giải ví dụ 2:

- Để phương trình có nghiệm kép thì:

a = m+1 ≠ 0 và Δ' = 4m2(m+1)2 + m(m+1)=0

⇔ m≠-1 và m(m+1)(2m+1)2 = 0

Giải PT: m(m+1)(2m+1)2 = 0 ta được m = 0; m = -1; m = -1/2;

Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm m = -1; nhận 2 nghiệm m = 0 và m =-1/2;

- Với m = 0, ta có nghiệm kép là:

- Với m = -1, ta có nghiệm kép là: x = -1.

* Ví dụ 3: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (*)

Xác định m để PT trên có hai nghiệm phân biệt mà nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.

° Lời giải ví dụ 2:

- Để PT có hai nghiệm phân biệt thì:

Δ' = 1-m>0 ⇔ m < 1

- Khi đó x1, x2 là nghiệm của PT không mất tính tổng quát khi giả sử

- Mà theo Vi-ét ta có:   (**)

- Giải PT (**) này ta được 2 nghiệm x2 = 1 và x2 = -2

- Thay x2 = 1 vào PT (*) ta được m = 1 (loại, do không thỏa điều kiện m<1)

- Thay x2 = -2 vào PT (*) ta được m = -8 (nhận)

- Kết luận: m = -8 thì PT x2 - 2x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.

° Dạng 3: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

* Phương pháp: Phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

- Có 2 nghiệm x1 và x2 nếu:

• x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0.

• x1 ≤ x2 < 0 ⇔

• x1 ≥ x2 > 0 ⇔

* Ví dụ: Cho phương trình: (m2+1)x2 + 2(m2-1)x - (m2-1) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.

° Lời giải

- Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi:

- Như vậy không có giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương.

° Dạng 4: Các phương trình quy về phương trình bậc hai

* Phương pháp: Các phương trình dạng sau có thể đưa về được pt bậc 2

1) ax4 + bx2 + c = 0; Đặt t = x2 ≥ 0.

2) a(P(x))2 + b(P(x)) + c = 0; Đặt t = P(x).

3) P(x)[P(x) + b] + c = 0; Đặt t = P(x).

4) (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e; Đặt t = (x+a)(x+d), điều kiện a + d = b + c.

5) ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0; Chia 2 vế cho x2 rồi đặt

6) (x+a)4 + (x+b)4 + c = 0; đặt

7) Phương trình chưa dấu giá trị tuyệt đối

8) Phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) (x - 1)(x + 5)(x2 + 4x + 8) + 40 = 0  (*)

b) x4 - 3x2 + 4x2 - 3x + 1 = 0  (**)

° Lời giải:

a) (x - 1)(x + 5)(x2 + 4x + 8) + 40 = 0  (*)

- Đặt t = (x - 1)(x + 5) = x2 + 4x - 5

⇒ x2 + 4x + 8 = x2 + 4x - 5 + 13 = t + 13

- Vậy (*) ⇔ t(t + 13) + 40 = 0

⇔ t2 + 13t + 40 = 0

⇔ t = -5 hoặc t = -8;

• Với t = -5  ⇒ x2 + 4x - 5 = -5

⇔ x2 + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -4.

• Với t = -8  ⇒ x2 + 4x - 5 = -8

⇔ x2 + 4x +3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -3.

- Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-4; -3; -1; 0}.

b) x4 - 3x2 + 4x2 - 3x + 1 = 0  (**)

- Vì x = 0 không phải là nghiệm nên chia 2 vế cho x2≠0 ta được:

(**)

Đặt , |t|≥2 ta được: t2 - 3t + 2 = 0

- Giải PT theo t (nhẩm nghiệm a + b + c = 0) ta được: t = 1 (loại, do không thỏa điều kiện |t|≥2) và t = 2(nhận).

- Với t = 2 ⇒

° Dạng 5: Giải hệ phương trình bậc 2 chứa hai ẩn

* Phương pháp:

• Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai: Rút một ẩn ở pt bậc nhất, thay vào pt bậc 2 ta được pt bậc 2 chứa 1 ẩn

• Hệ đối xứng (là hệ khi đổi vai trò giữa x và y ta thấy các pt không đổi): Đặt hai ẩn phụ S = x + y và P = x.y. Tính S, P suy ra x và y.

* Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

(*)

° Lời giải ví dụ 1:

- Ta có:

(*)

- Với y = 1 ta được x = 4;

- Với y=-7/4 ta được x = -17/4

- Kết luận: Vậy hệ có 2 cặp nghiệm là: (4;1) và (-17/4; -7/4).

* Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

(*)

° Lời giải ví dụ 2:

- Ta đặt: S = x + y và P = x.y khi đó:

(*)

• Từ P + S = 5 ⇒ P = 5 - S; thay P vào P.S = 6 ta được:

(5 - S)S = 6 ⇔ 5S - S2 = 6 ⇔ S2 - 5S + 6 = 0

⇔ S = 2 hoặc S = 3

- Với S = 2 ⇒ P = 3, x và y là nghiệm của phương trình:

t2 - 2t + 3 = 0; Ta có  (PT vô nghiệm)

- Với S = 3 ⇒ P = 2, x và y là nghiệm của phương trình:

t2 - 3t + 2 = 0; có nghiệm t = 1 hoặc t = 2.

⇒ Vậy hệ (*) có 2 cặp nghiệm là: (1;2) và (2;1)

Các dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn được biên soạn theo sách mới nhất. Được hướng dẫn biên soạn bởi các thầy cô giáo dạy Giỏi tư vấn, nếu thấy hay hãy chia sẻ và comment để nhiều bạn khác học tập cùng.

#soanbaitap