Thứ Ba, 15 tháng 9, 2020

Bài 3. Hình thang cân - soanbaitap.com

Hình thang cân. Dấu hiệu nhận biết tính chất hình thang cân được biên soạn từ đội ngũ giáo viên dạy giỏi môn toán trên toàn quốc đảm bảo chính xác, dễ hiểu giúp các em đi tìm câu trả lời cho những thắc mắc hình thang cân là gì? Tính chất và dâu hiệu nhận biết hình thang cân như thế nào? và hướng dẫn giải bài tập sgk để các em hiểu rõ hơn.

Hình thang cân. Dấu hiệu nhận biết tính chất hình thang cân thuộc: CHƯƠNG I. TỨ GIÁC

1. Định nghĩa hình thang cân

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Tứ giác ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD)Lý thuyết: Hình thang cân | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Chú ý: Nếu ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) thì Cˆ = Dˆ và Aˆ = Bˆ.

Lý thuyết: Hình thang cân | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

2. Tính chất hình thang cân

Định lí 1: Trong một hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) ⇒ AD = BC

Định lí 2: Trong một hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) ⇒ AC = BD

Định lí 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Hình thang ABCD (đáy AB, CD) có AC = BD ⇒ ABCD là hình thang cân.

3. Dấu hiệu nhận biết

Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Ví dụ : Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD ). Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF.

Hướng dẫn:

Lý thuyết: Hình thang cân | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Ta có ABCD là hình thang cân nên AD = BC

+ Xét tam giác vuông ADE có

AD2 = AE2 + DE2 ⇒ DE2 = AD2 - AE2 ⇔ DE = √( AD2 - AE2 )       ( 1 )

+ Xét tam giác vuông BCF có:

BC2 = BF2 + CF2 ⇒ CF2 = BC2 - BF2 ⇔ CF = √( BC2 - BF2 )       ( 2 )

Xét tứ giác ABFE có AB// EF nên là hình thang. Lại có hai cạnh bên AE// BF (cùng vuông góc CD ) nên AE = BF (3)

Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ⇒ DE = CF (do AD = BC và AE = BF )

4. Hướng dẫn giải bài tập về hình thang cân SGK

Bài 1: Cho hình thang cân ABCD( AB//CD,AB < CD ). Kẻ đường cao AH,BK của hình thang. Chứng minh rằng DH = CK.

Hướng dẫn:

Bài tập: Hình thang cân | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Áp dụng định nghĩa, tính chất và giả thiết của hình thang cân ta có:Bài tập: Hình thang cân | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án ⇒ Δ ADH = Δ BCK

(trường hợp cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ DH = CK (cặp cạnh tương ứng bằng nhau)

Vậy DH = CK. (đpcm)

Bài 2: Tính các góc của hình thang cân, biết có một góc bằng 600

Hướng dẫn:

Bài tập: Hình thang cân | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Xét hình thang cân ABCD ( AB//CD ) có Dˆ = 600

Theo định nghĩa và giả thiết về hình thang cân ta có:Bài tập: Hình thang cân | Lý thuyết và Bài tập Toán 8 có đáp án

Do góc A và góc D là hai góc cùng nằm một phía của

AB//CD nên chúng bù nhau hay Aˆ + Dˆ = 1800.

⇒ Aˆ = 1800 - Dˆ = 1800 - 600 = 1200.

Do đó Aˆ = Bˆ = 1200.

Vậy Cˆ = Dˆ = 600 và Aˆ = Bˆ = 1200.

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 3 trang 72: Hình thang ABCD (AB // CD) trên hình 23 có gì đặc biệt ?

Lời giải

Hình thang ABCD trên hình 23 có hai góc kề cạnh đáy lớn bằng nhau

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 3 trang 72: Cho hình 24.

a) Tìm các hình thang cân.

b) Tính các góc còn lại của mỗi hình thang cân đó.

c) Có nhận xét gì về hai góc đối của hình thang cân ?

Để học tốt Toán 8 | Giải toán lớp 8

Lời giải

a) Các hình thang cân là : ABDC, IKMN, PQST

b) Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác bằng 3600

⇒ góc D = 360o- 80o- 80o- 100o = 100o

Góc N = 70o(so le trong với góc 70o)

Góc S = 360o- 90o- 90o- 90o = 90o

c) Hai góc đối của hình thang cân bù nhau

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 3 trang 74: Cho đoạn thẳng CD và đường thẳng m song song với CD (h.29). Hãy vẽ các điểm A, B thuộc m sao cho ABCD là hình thang có hai đường chéo CA, DB bằng nhau. Sau đó hãy đo các góc C ̂ và D ̂ của hình thang ABCD đó để dự đoán về dạng của các hình thang có đường chéo bằng nhau.

Để học tốt Toán 8 | Giải toán lớp 8

Lời giải

Để học tốt Toán 8 | Giải toán lớp 8

Hai góc C và D bằng nhau

⇒ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Bài 11 (trang 74 SGK Toán 8 Tập 1): Tính độ dài các cạnh của hình thang cân ABCD trên giấy kẻ ô vuông (h.30, độ dài của cạnh ô vuông là 1cm).

Giải bài 11 trang 74 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

Lời giải:

Giải bài 11 trang 74 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

(Mỗi ô vuông là 1cm).

Nhìn vào hình vẽ ta thấy :

+ AB = 2cm

+ CD = 4cm.

+ Tính AD :

Xét tam giác vuông ADE có AE = 1cm, DE = 3cm.

⇒ AD2 = AE2 + DE2 (Định lý Pytago)

= 12 + 32 = 10

⇒ AD = √10 cm

+ Tính BC :

ABCD là hình thang cân nên BC = AD = √10 cm.

Vậy AB = 2cm, CD = 4cm, AD = BC = √10 cm.

Kiến thức áp dụng

+ Định lý Pytago: Tam giác ABC vuông tại A ⇔ AB2 + AC2 = BC2.

+ Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Bài 12 (trang 74 SGK Toán 8 Tập 1): Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF.

Lời giải:

Giải bài 12 trang 74 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

Vì hình thang ABCD cân

AD = BC;

Ĉ = D̂

Xét hai tam giác vuông AED và BFC có:

AD = BC

Ĉ = D̂

⇒ ΔAED = ΔBFC (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ DE = CF.

Kiến thức áp dụng

Trong hình thang cân:

+ Hai góc ở đáy bằng nhau

+ Hai cạnh bên bằng nhau.

Bài 13 (trang 74 SGK Toán 8 Tập 1): Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED.

Lời giải:

Giải bài 13 trang 74 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

Do ABCD là hình thang cân nên:

AD = BC;

AC = BD;

Xét hai tam giác ADC và BCD, ta có:

AD = BC (gt)

AC = BD (gt)

DC cạnh chung

⇒ ΔADC = ΔBCD (c.c.c)

Giải bài 13 trang 74 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

⇒ ΔECD cân tại E

⇒ EC = ED.

Mà AC = BD

⇒ AC – EC = BD – ED

hay EA = EB.

Vậy EA = EB, EC = ED.

Kiến thức áp dụng

Trong một hình thang cân:

+ Hai đường chéo bằng nhau

+ Hai cạnh bên bằng nhau.

Bài 14 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1): Đố. Trong các tứ giác ABCD, EFGH trên giấy kẻ ô vuông (h.31), tứ giác nào là hình thang cân? Vì sao?

Giải bài 14 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

Lời giải:

Giải bài 14 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

+ Xét tứ giác ABCD

Nhận thấy AB // CD ⇒ Tứ giác ABCD là hình thang.

Xét ΔACK vuông tại K ta có: AC2 = AK2 + KC2 = 42 + 12 = 17

Tương tự ta có BD2 = 42 + 12 = 17

⇒ AC2 = BD2

⇒ AC = BD

Vậy hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD nên là hình thang cân.

+ Xét tứ giác EFGH

FG // EH ⇒ Tứ giác EFGH là hình thang.

Lại có : EG = 4cm

FH2 = 22 + 32 = 13 ⇒ FH = √13 ≠ EG.

Vậy hình thang EFGH có hai đường chéo không bằng nhau nên không phải hình thang cân.

Kiến thức áp dụng

+ Để chứng minh một hình thang là hình thang cân, ta sử dụng một trong các cách sau:

- Chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau

- Chứng minh hai đường chéo bằng nhau

+ Định lý Pytago: ΔABC vuông tại A ta luôn có: AB2 + AC2 = BC2.

Bài 15 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1): Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D, E sao cho AD = AE

a) Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân.

b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng góc A = 50o.

Lời giải:

Giải bài 15 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8Giải bài 15 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

Mà hai góc ở vị trí đồng vị ⇒ DE // BC

⇒ Tứ giác DECB là hình thang.

Mà hai góc ở đáy B và C bằng nhau nên hình thang DECB là hình thang cân.

b)

Giải bài 15 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

Kiến thức áp dụng

+ Tính chất: Trong một hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau.

+ Để chứng minh một hình thang là hình thang cân, ta sử dụng một trong các cách sau:

- Chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau.

- Chứng minh hai đường chéo bằng nhau.

Bài 16 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1): Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Lời giải:

Giải bài 16 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

- Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân:

+ ΔABC cân tại A Giải bài 16 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

BD là phân giác của Giải bài 16 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

CE là phân giác của Giải bài 16 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

Giải bài 16 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

+ Xét ΔAEC và ΔADB có:

Giải bài 16 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

⇒ ΔAEC = ΔADB

⇒ AE = AD

Vậy tam giác ABC cân tại A có AE = AD

Theo kết quả bài 15a) suy ra BCDE là hình thang cân.

- Chứng minh ED = EB.

ED // BC ⇒ Giải bài 16 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8 (Hai góc so le trong)

Mà Giải bài 16 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8 ⇒ ΔEDB cân tại E ⇒ ED = EB.

Vậy ta có EBCD là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Kiến thức áp dụng

+ Tính chất: Trong một hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau.

+ Để chứng minh một hình thang là hình thang cân, ta sử dụng một trong các cách sau:

- Chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau.

- Chứng minh hai đường chéo bằng nhau.

Bài 17 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1): Hình thang ABCD (AB // CD) có Giải bài 17 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Lời giải:

Giải bài 17 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Giải bài 17 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8 ⇒ ΔEDC cân tại E ⇒ ED = EC (1)

+ AB//CD ⇒ Giải bài 17 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8 (Các cặp góc so le trong)

Mà Giải bài 17 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

⇒ ΔEAB cân tại E ⇒ EA = EB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EA + EC = EB + ED hay AC = BD.

Vậy hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD nên là hình thang cân.

Kiến thức áp dụng

Để chứng minh một hình thang là hình thang cân, ta sử dụng một trong các cách sau:

- Chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau.

- Chứng minh hai đường chéo bằng nhau.

Bài 18 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1): Chứng minh định lý: "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại tại E. Chứng minh rằng:

a) ΔBDE là tam giác cân.

b) ΔACD = ΔBDC

c) Hình thang ABCD là hình thang cân.

Lời giải:

Giải bài 18 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

a) Hình thang ABEC (AB//CE) có hai cạnh bên AC, BE song song nên chúng bằng nhau: AC = BE     (1)

Theo giả thiết AC = BD     (2)

Từ (1) và (2) suy ra BE = BD do đó ΔBDE cân

Giải bài 18 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

Vậy hình thang ABCD có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

Kiến thức áp dụng

+ Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.

+ Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Bài 19 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1): Đố. Cho ba điểm A, D, K trên giấy kẻ ô vuông (h.32) Hãy tìm điểm thứ tư M giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba diểm đã cho là bốn đỉnh của một hình thang cân.

Giải bài 19 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

Lời giải:

Ta có thể xác định hai điểm M thỏa mãn như dưới hình.

Giải bài 19 trang 75 Toán 8 Tập 1 | Giải bài tập Toán 8

Hình thang cân. Dấu hiệu nhận biết tính chất hình thang cân được đăng ở chuyên mục Giải Toán 8 và biên soạn theo phần toán hình 8 thuộc SKG Toán lớp 8. Bài giải toán lớp 8 được biên soạn bởi các thầy cô giáo dạy giỏi toán tư vấn, nếu thấy hay hãy chia sẻ và comment để nhiều bạn khác cùng học tập.



#soanbaitap

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét