Bài tập Ôn cuối năm
A. Phần Đại Số
Bài 1 (trang 88 SGK Toán 7 tập 2): Thực hiện các phép tính:
Lời giải:
Bài 2 (trang 89 SGK Toán 7 tập 2): Với giá trị nào của x thì ta có:
a) |x| + x = 0 ; b) x + |x| = 2x
Lời giải:
a)
+) Với x ≥ 0 thì |x| = x nên ta có: x + x = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0
+) Với x < 0 thì |x| = -x nên ta có: -x + x = 0 ⇒ 0 = 0 (luôn đúng)
⇒ |x| + x = 0 luôn có nghiệm đúng với x < 0
Vậy với x ≤ 0 thì |x| + x = 0.
b)
+) Với x ≥ 0 thì |x| = x nên ta có: x + x = 2x ⇒ 2x = 2x ⇒ 0 = 0 (luôn đúng)
⇒ x + |x| = 2x luôn có nghiệm đúng với x ≥ 0
+) Với x < 0 thì |x| = -x nên ta có: x – x = 2x ⇒ 0 = 2x ⇒ x = 0 (loại)
Vậy với x ≥ 0 thì x + |x| = 2x.
Kiến thức áp dụng
Bài 3 (trang 89 SGK Toán 7 tập 2):
Lời giải:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Kiến thức áp dụng
Bài 4 (trang 89 SGK Toán 7 tập 2): Ba đơn vị kinh doanh đầu tư vốn tỉ lệ với 2 ; 5 và 7. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu lãi nếu số tiền lãi là 560 triệu đồng và tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với vốn đầu tư?
Lời giải:
Gọi tiền lãi của mỗi đơn vị là a, b, c (triệu đồng) và a, b, c > 0
Vì tiền lãi được chia tỉ lệ với vốn đầu tư nên a, b, c tỉ lệ với 2, 5 và 7 do đó 
Số tiền lãi là 560 triệu, nghĩa là a + b + c = 560.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
Suy ra:
a = 2.40 = 80
b = 5.40 = 200
c = 7.40 = 280
Vậy tiền lãi của mỗi đơn vị lần lượt là 80 triệu, 200 triệu, 280 triệu.
Kiến thức áp dụng
Bài 4 (trang 89 SGK Toán 7 tập 2): Ba đơn vị kinh doanh đầu tư vốn tỉ lệ với 2 ; 5 và 7. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu lãi nếu số tiền lãi là 560 triệu đồng và tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với vốn đầu tư?
Lời giải:
Gọi tiền lãi của mỗi đơn vị là a, b, c (triệu đồng) và a, b, c > 0
Vì tiền lãi được chia tỉ lệ với vốn đầu tư nên a, b, c tỉ lệ với 2, 5 và 7 do đó
Số tiền lãi là 560 triệu, nghĩa là a + b + c = 560.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
Suy ra:
a = 2.40 = 80
b = 5.40 = 200
c = 7.40 = 280
Vậy tiền lãi của mỗi đơn vị lần lượt là 80 triệu, 200 triệu, 280 triệu.
Kiến thức áp dụng
Bài 5 (trang 89 SGK Toán 7 tập 2): Cho hàm số: 
Các điểm sau đây có thuộc đồ thị hàm số không?
Lời giải:
Bài 6 (trang 89 SGK Toán 7 tập 2): Biết đồ thị của hàm số y = ax đi qua điểm M(–2 ;–3). Hãy tìm a.
Lời giải:
Vì điểm M(-2;-3) thuộc đồ thị hàm số y = ax nên ta có:
Kiến thức áp dụng
Điểm M(xM; yM) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) ⇔ yM = f(xM).
Bài 7 (trang 89 SGK Toán 7 tập 2): Biểu đồ dưới đây biểu thị tỉ lệ (%) trẻ em từ 6 đến 10 tuổi đang học Tiểu học ở một vùng của nước ta:
Hãy cho biết:
a) Tỉ lệ (%) trẻ em từ 6 đến 10 tuổi của vùng Tây Nguyên, vùng đồng bằng sông Cửu Long đi học tiểu học.
b) Vùng nào có tỉ lệ (%) trẻ em từ 6 đến 10 tuổi đi học Tiểu học cao nhất, thấp nhất.
Lời giải:
a) Tỉ lệ trẻ em từ 6 đến 10 tuổi của vùng Tây Nguyên đi học đạt 92,29%.
Tỉ lệ trẻ em từ 6 đến 10 tuổi của vùng đồng bằng sông Cửu Long đi học đạt 87,81%.
b) Dựa vào biểu đồ ta nhận thấy: Vùng đồng bằng sông Hồng có tỉ lệ trẻ em từ 6 – 10 tuổi đi học tiểu học cao nhất và vùng đồng bằng sông Cửu Long có tỉ lệ trẻ em từ 6 – 10 tuổi đi học tiểu học thấp nhất.
Bài 8 (trang 90 SGK Toán 7 tập 2): Để tìm hiểu về sản lượng vụ mùa của một xã, người ta chọn ra 120 thửa để gặt thử và ghi lại sản lượng của từng thửa (tính theo tạ/ha). Kết quả được tạm sắp xếp như sau:
Có 10 thửa đạt năng suất 31 tạ/ha
Có 20 thửa đạt năng suất 34 tạ/ha
Có 30 thửa đạt năng suất 35 tạ/ha
Có 15 thửa đạt năng suất 36 tạ/ha
Có 10 thửa đạt năng suất 38 tạ/ha
Có 10 thửa đạt năng suất 40 tạ/ha
Có 5 thửa đạt năng suất 42 tạ/ha
Có 20 thửa đạt năng suất 44 tạ/ha
a) Dấu hiệu ở đây là gì? Hãy lập bảng "tần số"
b) Biểu diễn bằng biểu đồ đoạn thẳng.
c) Tìm mốt của dấu hiệu.
d) Tính số trung bình cộng của dấu hiệu.
Lời giải:
a) - Dấu hiệu: Sản lượng vụ mùa của mỗi thửa ruộng
- Bảng tần số:
| Năng suất (tạ/ha) | 31 | 34 | 35 | 36 | 38 | 40 | 42 | 44 | |
| Tần số | 10 | 20 | 30 | 15 | 10 | 10 | 5 | 20 | N = 120 |
b) Biểu đồ đoạn thẳng
c) Mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số. Vậy mốt của dấu hiệu là 35 tạ/ha.
d) Số trung bình cộng của các giá trị
Kiến thức áp dụng
+ Dấu hiệu: Nội dung điều tra
+ Mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số.
+ Số trung bình cộng :
trong đó x1, x2, x3,...xM là các giá trị của dấu hiệu; n1, n2, n3,...nM là các tần số tương ứng.
Bài 9 (trang 90 SGK Toán 7 tập 2): Tính giá trị của biểu thức: 2,7c2 - 3,5c lần lượt tại 
Lời giải:
Đặt A = 2,7c2 – 3,5c
- Với c = 0,7 ta có
A = 2,7.(0,7)2 – 3,5.0,7 = 2,7.0,49 – 3,5.0,7 = 1,323 – 2,45 = – 1,127
Bài 10 (trang 90 SGK Toán 7 tập 2): Cho các đa thức:
Tính:
a) A + B - C; b) A - B + C; c) -A + B + C.
Lời giải:
Có hai cách trình bày với bài này: một là bạn có thể liệt kê hết các phần tử ra hoặc bạn sắp xếp theo cùng thứ tự và tính như sau:
Bài 11 (trang 90 SGK Toán 7 tập 2): Tìm x, biết:
a) (2x - 3) - (x - 5) = (x + 2) - (x - 1)
b) 2(x - 1) - 5(x + 2) = -10
a) (2x – 3) – (x – 5) = (x + 2) – (x – 1)
⇒ 2x – 3 – x + 5 = x + 2 – x + 1
⇒ x + 2 = 3
⇒ x = 3 – 2
⇒ x = 1
Vậy : x = 1
b) 2(x – 1) – 5 (x + 2) = – 10
⇒ 2x – 2 – 5x – 10 = –10
⇒ -3x – 12 = – 10
⇒ – 3x = -10+12
⇒ -3x = 2
⇒ x = (-2)/3
Vậy : x = (-2)/3
Bài 12 (trang 90 SGK Toán 7 tập 2): Tìm hệ số a của đa thức P(x) = ax2 + 5x – 3, biết rằng đa thức này có một nghiệm là 1/2.
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức đó.
Bài 13 (trang 90 SGK Toán 7 tập 2): a) Tìm nghiệm của đa thức: P(x) = 3 – 2x.
b) Hỏi đa thức Q(x) = x2 + 2 có nghiệm hay không? Vì sao?
Lời giải:
a) Ta có P(x) = 0 khi 3 – 2x = 0
b) Q(x) = x2 + 2 là đa thức không có nghiệm vì
x2 ≥ 0 với mọi x
(vì lũy thừa với số mũ chẵn của 1 số bất kỳ là 1 số không âm)
⇒ Q(x) = x2 + 2 > 0 với mọi x
Hay Q(x) = x2 + 2 ≠ 0 với mọi x.
Kiến thức áp dụng
Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức đó.
B. Phần Hình Học
Bài 1 (trang 90-91 SGK Toán 7 tập 2): Cho điểm M và hai đường thẳng a, b không song song với nhau (h.59).
a) Vẽ đường thẳng MH vuông góc với a (H ∈ a), MK vuông góc với b (K ∈ b). Nêu cách vẽ.
b) Qua M vẽ đường thẳng xx' song song với a và đường thẳng yy' song song với b. Nêu cách vẽ.
c) Nêu tên các cặp góc bằng nhau, bù nhau.
Hình 59
Lời giải:
a) Sử dụng êke
Trước hết, ta nêu cách vẽ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước
Cách vẽ dùng êke và thước kẻ:
- Cho trước đường thẳng a và M ∉ a.
Đặt một lề êke trùng với a, dịch chuyển êke trên a sao cho lề thứ hai của êke sát vào M
- Vẽ đường thẳng sát lề thứ hai của êke qua M cắt a tại H, ta được MH ⏊ a tại H ∈ a
Tương tự vẽ MK ⏊ b tại K ∈ b.
b) Sử dụng êke
* Để vẽ đường thẳng xx’ đi qua M và song song với a, ta chỉ cần vẽ đường thẳng vuông góc với MH.
Thật vậy vì xx’ ⏊ MH, MH ⏊ a ⇒ xx’ // a.
Cách vẽ:
Đặt ê ke sao cho đỉnh góc vuông trùng với điểm M, một cạnh góc vuông trùng với MH.
Vẽ đoạn thẳng trùng với cạnh góc vuông còn lại của eke.
Kéo dài đoạn thẳng ta được đường thẳng xx’ cần vẽ.
* Tương tự với đường thẳng yy’
c)
Giả sử a cắt yy’ tại E và b cắt xx’ tại F.
- Một số cặp góc bằng nhau:
Bài 2 (trang 91 SGK Toán 7 tập 2): Xem hình 60.
a) Giải thích vì sao a//b.
b) Tính số đo góc NQP.
Lời giải:
a) Theo hình vẽ ta có: a ⊥ MN, b ⊥ MN ⇒ a // b (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Kiến thức áp dụng
+ Tính chất: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
+ Tính chất hai đường thẳng song song: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì các cặp góc trong cùng phía bù nhau.
Bài 3 (trang 91 SGK Toán 7 tập 2): Hình 61 cho biết a // b, góc C = 44o, góc D = 132o. Tính số đo góc COD.
(Hướng dẫn: Vẽ đường thẳng song song với đường thẳng a và đi qua điểm O).
Lời giải:
Vẽ tia Ot // a (Ot nằm ở miền trong góc nhọn COD).
(hai góc so le trong)
+ b // Ot. Mà góc tOD và góc ODb là hai góc trong cùng phía
Kiến thức áp dụng
+ Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc trong cùng phía bù nhau, hai góc so le trong bằng nhau.
Bài 4 (trang 91 SGK Toán 7 tập 2): Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường trung trực của đoạn thẳng OB cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:
a) CE = OD; b) CE ⊥ CD;
c) CA = CB; d) CA // DE;
e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Lời giải:
d) Hai tam giác vuông ΔDCE và ΔCDA có :
CD chung
CE = AD (do ∆BCE = ∆CDA)
⇒ ∆DCE = ∆CDA (hai cạnh góc vuông)
e) Chứng minh tương tự như d suy ra CB // DE.
Do đó theo tiên đề Ơ-clit ta suy ra hai đường thẳng BC và CA trùng nhau hay A, B, C thẳng hàng.
Kiến thức áp dụng
+ Các trường hợp bằng nhau của tam giác.
+ Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
+ Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra các cặp góc so le trong bằng nhau. Ngược lại nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng và có hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.
+ Dựa vào tiên đề Ơ – clit : Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Bài 5 (trang 91 SGK Toán 7 tập 2): Tính số đo x trong mỗi hình 62, 63, 64:
Lời giải:
+ Hình 62:
• ∆ABC có AC = AB ⟹ ∆ABC cân tại A 
• ∆ABC vuông tại A 
(trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau) hay
+ Hình 63: Vẽ tia Ct // BA ( tia BA và tia Ct thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ BC)
+ Hình 64:
Kiến thức áp dụng
+ Trong một tam giác, tổng ba góc bằng 180º. Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
+ Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
+ Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra các cặp góc so le trong, các cặp góc đồng vị bằng nhau.
Bài 6 (trang 92 SGK Toán 7 tập 2): Cho tam giác ADC (AD = DC) có góc ACD = 31o. Trên cạnh AC lấy một điểm B sao cho góc ABD = 88o. Từ C kẻ một tia song song với BD cắt tia AD ở E.
a) Hãy tính các góc DCE và DEC.
b) Trong tam giác CDE, cạnh nào lớn nhất? Tại sao?
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
+ Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
+ Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc so le trong bằng nhau.
+ Trong một tam giác, góc ngoài tại mỗi đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
+ Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Bài 7 (trang 92 SGK Toán 7 tập 2): Từ một điểm M trên tia phân giác của góc nhọn xOy, kẻ đường vuông góc với cạnh Ox (tại A), đường thẳng này cắt cạnh Oy tại B.
a) Hãy so sánh hai đoạn thẳng OA và MA.
b) Hãy so sánh hai đoạn thẳng OB và OM.
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
+ Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Do đó cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc vuông) là cạnh lớn nhất.
+ Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
+ Trong một tam giác, góc ngoài tại mỗi đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
Bài 8 (trang 92 SGK Toán 7 tập 2): Cho tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC (H ∈ BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:
a) ΔABE = ΔHBE.
b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
c) EK = EC.
d) AE < EC.
Lời giải:
a) Xét ΔABE vuông tại A và ΔHBE vuông tại H có :
BE chung
⇒ ΔABE = ΔHBE (cạnh huyền – góc nhọn)
b) ΔABE = Δ HBE
⇒ BA = BH, EA = EH (các cặp cạnh tương ứng)
⇒ E, B cùng thuộc trung trực của AH
nên đường thẳng EB là trung trực của AH.
c) Xét ΔAEK vuông tại A và ΔHEC vuông tại H có:
AE = EH (chứng minh trên)
⇒ ΔAEK = ΔHEC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
⇒ EK = EC (hai cạnh tương ứng)
d) ΔEHC vuông tại H có EH < EC (cạnh huyền là lớn nhất trong tam giác vuông)
mà EH = AE (câu b) nên AE < EC.
Kiến thức áp dụng
+ Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
+ Các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì thuộc đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Bài 9 (trang 92 SGK Toán 7 tập 2): Chứng minh rằng: Nếu tam giác ABC có đường trung tuyến xuất phát từ A bằng một nửa cạnh BC thì tam giác đó vuông tại A.
Ứng dụng: Một tờ giấy bị rách mép (h.65). Hãy dùng thước và compa dựng đường vuông góc với cạnh AB tại A.
Lời giải:
Chứng minh tam giác vuông:
Ứng dụng:
- Vẽ đường tròn (A, r) với r = AB/2; vẽ đường tròn (B, r).
- Gọi C là giao điểm của hai cung tròn nằm ở phía trong tờ giấy.
- Trên tia BC lấy D sao cho BC = CD ⇒ AB ⊥ AD.
Thật vậy: ΔABD có AC là trung tuyến ứng với BD (BC = CD) và AC = BC = CD.
⇒ AC = BD/2 ⇒ ΔABD vuông tại A.
Kiến thức áp dụng
+ Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân. Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
+ Trong một tam giác, tổng ba góc bằng 180º.
Bài 10 (trang 92 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 66. Không vẽ giao điểm của a, b, hãy nêu cách vẽ đường thẳng đi qua giao điểm này và điểm M.
Lời giải:
Áp dụng kết quả bài tập 69 (chương III – SGK) ta có cách vẽ sau:
- Vẽ đường thẳng d qua M và vuông góc với a.
- Vẽ đường thẳng l qua M và vuông góc với b.
- d cắt a, b lần lượt tại A và B.
- l cắt a, b lần lượt tại C và D.
- Vẽ đường thẳng c qua M vuông góc với BC
⇒ c là đường qua M và qua giao điểm của hai đường a, b
Chứng minh:
Giả sử a cắt b tại điểm O.
Khi đó BA, DC là hai đường cao của ∆OBC.
Mà BA và DC cắt nhau tại M nên M là trực tâm ∆OBC.
Do đó OM cũng là đường cao nên OM ⟘ BC hay đường thẳng qua M vuông góc với BD thì đi qua O.
Bài 11 (trang 92 SGK Toán 7 tập 2): Đố: Cho tam giác ABC. Em hãy tô màu để xác định phần bên trong của tam giác gồm các điểm M sao cho:
MA < MB < MC.
Lời giải:
Áp dụng kết quả bài 70 (chương III – SGK) ta có:
MA < MB khi M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường trung trực của AB (phần gạch chéo)
MB < MC khi M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đường trung trực của BC (phần được chấm chấm).
(Cách chứng minh xem lại bài 70).
Phần giao của hai nửa mặt phẳng trên là phần hình chứa điểm M thỏa mãn MA < MB < MC (phần hình được tô màu xanh).
Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 7 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán Đại 7 và Toán Hình 7. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 7 khác nhau
#soanbaitap
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét