1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. h là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.
2. Tính chất của các điểm cách đều một đoạn thẳng cho trước
Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h.
Nhận xét: Từ định nghĩa về khoảng cách hai đường thẳng song song và tính chất trên ta có: Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h.
3. Đường thẳng song song cách đều
Định lí:
+ Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
+ Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
Bài 1: Cho Δ ABC có D là trung điểm của AB, kẻ DE//BC ( E in AC ). Chứng minh rằng AE = EC.
Hướng dẫn:
Do DE//BC theo giả thiết nên vẽ thêm Ax//DE thì
Ax//DE//BC ( 1 )
Vì D là trung điểm của AB nên AD = BD ( 2 )
Từ ( 1 ), ( 2 ) suy ra ba đường Ax, DE, BC là ba đường song song cách đều nên nó chắn trên đường thẳng AC hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là AE = EC.
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ kẻ từ B và C đến đường thẳng DE. Chứng minh rằng HE = DK.
Hướng dẫn:
Vì BD, CE là đường cao của tam giác ABC nên
do đó Δ BDC vuông tại D, Δ CEB vuông tại E.
Gọi M là trung điểm của BC
⇒ DM, EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của Δ BDC và Δ CEB.
Áp dụng tính chất của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác trên ta được:
Từ giả thiết ta có tứ giác BHKC là hình thang vuông nên vẽ MI ⊥ DE thì BH//MI//CK ( 1 ) (vì cùng vuông góc với đường thẳng DE)
Mà ta có BM = MC ( 2 ) (do ta vẽ hình trên)
Từ ( 1 ),( 2 ) suy ra BH, MI, CK là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng HK hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là HI = IK ( 3 ).
Áp dụng tính chất của đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân MDE ta được:
EI = ID ( 4 )
Trừ theo vế đẳng thức ( 3 ) cho ( 4 ), ta được: HE = DK.
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 10 trang 100: Cho hai đường thẳng song song a và b (h.93).
Gọi A và B là hai điểm bất kì thuộc đường thẳng a, AH và BK là các đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng b. Gọi độ dài AH là h. Tính độ dài BK theo h.
Lời giải
AH // BK (cùng ⊥ b) và AB // HK ⇒ tứ giác ABKH là hình bình hành
⇒ AH = BK = h
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 10 trang 101: Cho đường thẳng b. Gọi a và a’ là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cùng cách đường thẳng b một khoảng bằng h (h.94), (I) và (II) là các nửa mặt phẳng bờ b. Gọi M, M’ là các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h, trong đó M thuộc nửa mặt phẳng (I), M’ thuộc nửa mặt phẳng (II). Chứng minh rằng M ∈ a, M’ ∈ a’.
Lời giải
Góc AHH’ = góc HH’A’ (= 90o). Mà 2 góc đó là 2 góc so le trong
⇒ a // b
Và a // a’
⇒ a’ // b
- Tứ giác AMKH có AH = MK (= h) và AH // MK (cùng ⊥ b)
⇒ Tứ giác AMKH là hình bình hành ⇒ AM // HK
Mà a // b ⇒ a // HK
Do đó AM trùng với a hay M ∈ a
- Chứng minh tương tự: M’ ∈ a’
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 10 trang 101: Xét các tam giác ABC có BC cố định, đường cao ứng với cạnh BC luôn bằng 2 cm (h.95). Đỉnh A của các tam giác đó nằm trên đường nào ?
Lời giải
Đỉnh A của các tam giác đó nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng 2 cm
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 10 trang 102: Cho hình 96b, trong đó các đường thẳng a, b, c, d song song với nhau.
Chứng minh rằng:
a) Nếu các đường thẳng a, b, c, d song song cách đều thì EF = FG = GH.
b) Nếu EF = FG = GH thì các đường thẳng a, b, c, d song song cách đều.
Lời giải
a) Các đường thẳng a, b, c, d song song cách đều ⇒ AB = BC = CD
⇒ B là trung điểm của AC; C là trung điểm của BD
- Hình thang AEGC (AE // GC) có B là trung điểm của AC và BF song song hai cạnh đáy
⇒ F là trung điểm EG (định lí đường trung bình của hình thang)
⇒ EF = FG
- Chứng minh tương tự ⇒ G là trung điểm FH
⇒ FG = GH
Vậy EF = FG = GH
Bài 67 (trang 102 SGK Toán 8 Tập 1): Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Ax bất kì. Trên tia Ax lấy các điểm C, D, E sao cho AC = CD = DE (h.97). Kẻ đoạn thẳng EB. Qua C, D kẻ các đường thẳng song song với EB. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra ba phần bằng nhau.
Lời giải:
Kẻ đường thẳng At // CC’ // DD’ // BE như hình vẽ.
Ta có: AC = CD = DE
⇒ At, CC’, DD‘, BE là các đường thẳng song song cách đều
⇒ AC’ = C’D’ = D’B
hay đoạn thẳng AB bị chia ra làm 3 phần bằng nhau.
Kiến thức áp dụng
+ Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
+ Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
Bài 68 (trang 102 SGK Toán 8 Tập 1): Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d và có khoảng cách đến d bằng 2cm. Lấy điểm B bất kì thuộc đường thẳng d. Gọi C là điểm đối xứng với điểm A qua điểm B. Khi điểm B di chuyển trên đường thẳng d thì điểm C di chuyển trên đường nào?
Lời giải:
Gọi H, K là hình chiếu của A và C trên đường thẳng d.
⇒ Khoảng cách từ A đến d bằng AH
⇒ AH = 2cm.
Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có:
AB = BC
⇒ ΔAHB = ΔCKB (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ CK = AH = 2cm.
Vậy điểm C nằm trên đường thẳng song song với d, không đi qua A và cách d 2cm.
Kiến thức áp dụng
Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h.
Bài 69 (trang 103 SGK Toán 8 Tập 1): Ghép mỗi ý (1), (2), (3), (4) với một trong các ý (5), (6), (7), (8) để được một khẳng định đúng.
| (1) Tập hợp các điểm cách A cố định một khoảng 3cm.
(2) Tập hợp các điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng AB cố định (3) Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh của góc đó (4) Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng a cố định một khoảng 3cm. |
(5) Là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
(6) là hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng 3cm. (7) là đường tròn tâm A bán kính 3cm. (8) là tia phân giác của góc xOy |
Lời giải:
Ghép các ý:
(1) với (7)
(2) với (5)
(3) với (8)
(4) với (6)
Kiến thức áp dụng
Nhớ lại tính chất và định nghĩa của các đường:
+ Đường tròn là tập hợp các điểm các đều một điểm cố định một khoảng cho trước.
+ Các điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+ Các điểm nằm trên đường phân giác cách đều hai cạnh của tam giác.
+ Tập hợp các điểm cố định cách một đường thẳng a cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng bằng h.
Bài 70 (trang 103 SGK Toán 8 Tập 1): Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Oy sao cho OA = 2cm. Lấy B là một điểm bất kì thuộc tia Ox. Gọi C là trung điểm của AB. Khi điểm B di chuyển trên tia Ox thì điểm C di chuyển trên đường nào?
Lời giải:
- Cách 1:
Kẻ CH ⊥ Ox.
Ta có CB = CA (gt).
CH // AO (cùng vuông góc Ox)
⇒ HB = OH
⇒ CH là đường trung bình của tam giác AOB
⇒ CH = AO/2 = 1cm.
Điểm C cách tia Ox cố định một khoảng không đổi 1cm nên C di chuyển trên tia song song với Ox, cách Ox một khoảng bằng 1cm và nằm trong góc xOy.
- Cách 2:
Vì C là trung điểm của AB nên OC là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB do đó OC = CA.
Điểm C di chuyển trên tia Em thuộc đường trung trực của OA.
Kiến thức áp dụng
+ Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh còn lại.
+ Trong một tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Bài 71 (trang 103 SGK Toán 8 Tập 1): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là trung điểm của DE.
a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng.
b) Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm O di chuyển trên đường nào?
c) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất?
Lời giải:
a) Tứ giác ADME có: 
⇒ ADME là hình chữ nhật
O là trung điiểm của đường chéo DE nên O cũng là trung điểm của đường chéo AM.
Vậy A, O, M thẳng hàng.
b) Kẻ AH ⊥ BC; OK ⊥ BC.
Ta có OA = OM, OK // AH (cùng vuông góc BC)
⇒ MK = KH
⇒ OK là đường trung bình của ΔMAH
⇒ OK = AH/2.
⇒ điểm O cách BC một khoảng cố định bằng AH/2
⇒ O nằm trên đường thẳng song song với BC.
Mặt khác khi M trùng C thì O chính là trung điểm của AC, khi M trùng B thì O chính là trung điểm của AB.
Vậy O di chuyển trên đoạn thẳng PQ là đường trung bình của tam giác ABC.
c) Vì AH là đường cao hạ từ A đến BC nên AM ≥ AH (trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất).
Vậy AM nhỏ nhất khi M trùng H.
Kiến thức áp dụng
+ Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
+ Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
+ Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. Khi đó đoạn thẳng nối hai trung điểm đó được gọi là đường trung bình của tam giác.
+ Tập hợp các điểm cố định cách một đường thẳng a cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng bằng h.
Bài 72 (trang 103 SGK Toán 8 Tập 1): Đố. Để vạch một đường thẳng song song với mép gỗ AB và cách mép gỗ 10cm, bác thợ mộc đặt đoạn bút chì CD dài 10cm vuông góc với ngón tay trỏ lấy làm cữ (h.98), rồi đưa ngón trỏ chạy dọc theo mép gỗ AB. Căn cứ vào kiến thức nào mà ta kết luận rằng đầu chì C vạch nên đường thẳng song song với AB và cách AB là 10cm?.
Hình 98
Lời giải:
- Căn cứ vào tính chất đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
- Vì điểm C cách mép gỗ AB một khoảng không đổi bằng 10cm nên khi tay di chuyển thì đầu bút chì C vạch nên một đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 10cm.
Kiến thức áp dụng
Tập hợp các điểm cách đường thẳng cố định một khoảng h không đổi là đường thẳng song song và cách đường thẳng đã cho một khoảng h.
Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 8 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán Đại 8 và Toán Hình 8. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 8 khác nhau
#soanbaitap
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét