Tóm tắt lý thuyết
1. Công thức nhân đơn thức với đa thức
Cho A, B, C, D là các đơn thức ta có: A( B + C - D ) = AB + AC - AD.
2. Công thức nhân đa thức với đa thức
Cho A, B, C, D là các đa thức ta có:
( A + B ).( C + D ) = A.( C + D ) + B.( C + D ) = AC + AD + BC + BD.
3. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = ( A - B )( A + B ).
( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
( A - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3.
A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2 )
A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2 ).
4. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhân tử chung
+ Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.
+ Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.
5. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức.
+ Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để phù hợp với các nhân tử.
6. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
+ Ta vận dụng phương pháp nhóm hạng tử khi không thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung hay bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
+ Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thế phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.
+ Ta áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
7. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều cách
Ta tìm hướng giải bằng cách đọc kỹ đề bài và rút ra nhận xét để vận dụng các phương pháp đã biết:
+ Đặt nhân tử chung
+ Dùng hằng đẳng thức
+ Nhóm nhiều hạng tử và phối hợp chúng
⇒ Để phân tích đa thức thành nhân tử.
8. Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:
+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
+ Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.
+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
9. Quy tắc chia đa thức cho đơn thức
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
Chú ý: Trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích trước để rút gọn cho nhanh
10. Chia đa thức một biến đã sắp xếp
Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B≠0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:
A = B.Q + R, với R=0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.
Nếu R = 0, ta được phép chia hết.
Nếu R≠0, ta được phép chia có dư.
Bài 1: Giá trị của biểu thức A = x( 2x + 3 ) - 4( x + 1 ) - 2x( x - 1/2 ) là ?
A. x + 1. B. 4.
C. - 4 D. 1 - x
Bài 2: Chọn câu trả lời đúng ( 2x3 - 3xy + 12x )( - 1/6xy ) bằng ?
A. - 1/3x4y + 1/2x2y2 - 2xy2
B. - 1/3x4y + 1/2x2y2 + 2xy2
C. - 1/3x4y + 1/2x2y2 - 2x2y3
D. - 1/3x4y + 1/2x2y2 - 2x2y
Bài 3: Kết quả nào sau đây đúng với biểu thức A = 2/5xy( x2y -5x + 10y ) ?
A. 2/5x3y2 + xy2 + 2x2y.
B. 2/5x3y2 - 2x2y + 2xy2.
C. 2/5x3y2 - 2x2y + 4xy2.
D. 2/5x3y2 - 2x2y - 2xy2.
Bài 4: Kết quả của phép tính ( x - 2 )( x + 5 ) bằng ?
A. x2 - 2x - 10.
B. x2 + 3x - 10
C. x2 - 3x - 10.
D. x2 + 2x - 10
Bài 5: Thực hiện phép tính ( 5x - 1 )( x + 3 ) - ( x - 2 )( 5x - 4 ) ta có kết quả là ?
A. 28x - 3.
B. 28x - 5.
C. 28x - 11.
D. 28x - 8.
Bài 6: Điền vào chỗ trống: A = ( 1/2x - y )2 = 1/4x2 - ... + y2
A. 2xy. B. xy.
C. - 2xy. D. 1/2xy.
Bài 7: Điều vào chỗ trống: ... = ( 2x - 1 )( 4x2 + 2x + 1 ).
A. 1 - 8x3.
B. 1 - 4x3.
C. x3 - 8.
D. 8x3 - 1.
Bài 8: Đa thức 4x( 2y - z ) + 7y( z - 2y ) được phân tích thành nhân tử là ?
A. ( 2y + z )( 4x + 7y )
B. ( 2y - z )( 4x - 7y )
C. ( 2y + z )( 4x - 7y )
D. ( 2y - z )( 4x + 7y )
Bài 9: Kết quả nào sau đây đúng?
A. ( 10xy2 ):( 2xy ) = 5xy
B. ( - 3/5x4y5z ):( 5/6x3y2z ) = 18/25xy3
C. ( - 3/4xy2 )2:( 3/5x2y3 ) = 15/16y
D. ( - 3x2y2z ):( - yz ) = - 3x2y
Bài 10: Kết quả của phép tính ( - 3 )6:( - 2 )3 là ?
A. 729/8. B. 243/8.
C. - 729/8. D. - 243/8.
Bài 11: Đa thức M thỏa mãn xy2 + 1/3x2y2 + 7/2x3y = ( 5xy ).M là ?
A. M = y + 1/15xy2 + 7/10x2
B. M = 1/5y + 1/15xy + 7/10x2
C. M = - 1/5y + 1/5x2y + 7/10x2
D. Cả A, B, C đều sai.
Bài 12: Kết quả nào sau đây đúng ?
A. ( - 3x3 + 5x2y - 2x2y2 ):( - 2 ) = - 3/2x3 - 5/2x2y + x2y2
B. ( 3x3 - x2y + 5xy2 ):( 1/2x ) = 6x2 - 2xy + 10y2
C. ( 2x4 - x3 + 3x2 ):( - 1/3x ) = 6x2 + 3x - 9
D. ( 15x2 - 12x2y2 + 6xy3 ):( 3xy ) = 5x - 4xy - 2y2
Bài 13: Kết quả của phép chia ( 7x3 - 7x + 42 ):( x2 - 2x + 3 ) là ?
A. - 7x + 14
B. 7x + 14
C. 7x - 14
D. - 7x - 14
Bài 14: Phép chia x3 + x2 - 4x + 7 cho x2 - 2x + 5 được đa thức dư là ?
A. 3x - 7.
B. - 3x - 8.
C. - 15x + 7.
D. - 3x - 7.
Bài 15: Giá trị của x thỏa mãn 2x( x + 3 ) + 2( x + 3 ) = 0 là ?
A. x = - 3 hoặc x = 1.
B. x = 3 hoặc x = - 1
C. x = - 3 hoặc x = - 1
D. x = 1 hoặc x = 3.
Bài 16: Tính ( x + 1/3 )( x - 1/3 )( 9 - 18x ) ta được kết quả ?
A. - 18x3 + 9x2 + 2x - 1
B. - 18x3 + 9x2 - 2x + 1
C. 18x3 + 9x2 + 2x - 1
D. 18x3 - 9x2 - 2x
Bài 17: Tính ( 2x + y )2 + ( 2x - y )2 ta được kết quả ?
A. 8x2 - 2y2.
B. 8x2 + 2y2
C. 4x2 + 2y2.
D. 4x2 - 2y2
Bài 18: Rút gọn biểu thức xn( xn + 1 + yn ) - yn( xn + yn - 1 ) được kết quả là?
A. x2n + 1 - y2n - 1
B. x2n - y2n
C. x2n - y2n - 1
D. xn + 2 - yn
Bài 19: Rút gọn biểu thức ( a - b )3 + ( a + b )3 - a( 6b2 + 2a2 ) được kết quả là ?
A. 2a3 + 2b3 - 3a2b
B. a3 + b3 + 6a2b
C. 2a3 + 2b3
D. 0
Bài 20: Giá trị của biểu thức P = x3 - 9x2 + 27x - 17 tại x =4 là ?
A. P = 17. B. P = - 17.
C. P = 11. D. P = - 11.
Bài 21: Giá trị của biểu thức M = ( x - y + z )2 + ( z - y )2 + 2( x - y + z )( y - z ) tại x =10 là ?
A. M = 10 B. M = 20
C. M = 100 D. M = 200
Bài 22: Thu gọn ( a + b - c )7:( a + b - c )5, ta được kết quả ?
A. ( a + b - c )2
B. ( a + b - c )
C. ( a + b - c )3
D. ( a + b - c )- 2.
Bài 23: Phân tích đa thức 3x + 6xy + 2yz + z thành nhân tử, ta được:
A. ( 3x + z )( 2y + 1 )
B. ( 3x - z )( 2y + 1 )
C. ( 3x + z )( 2y - 1 )
D. ( 3x - z )( 2y - 1 )
Bài 24: Chọn câu sai với mọi số tự nhiên n thì giá trị của biểu thức ( n + 7 )2 - ( n - 5 )2 chia hết cho ?
A. 24 B. 16
C. 8 D. 6
Bài 25: Với mọi giá trị của biến số thì giá trị của biểu thức 16x4 - 40x2y3 + 25y6 là một số ?
A. dương
B. không dương
C. âm
D. không âm
Bài 26: Để biểu thức 9x2 + 30x + a là bình phương của một tổng thì giá trị của a thỏa mãn yêu cầu là ?
A. 9 B. 25
C. 36 D. Kết quả khác
Bài 27: Giá trị nhỏ nhất của y = ( x - 3 )2 + 1 là ?
A. 1 khi x=3 B. 3 khi x =1
C. 0 khi x=3 D. Không có GTNN trên TXĐ
Bài 28: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 9x2 - 6x + 5 đạt được khi x bằng ?
A. x = 1/2 B. x = 1/3
C. x = 3 D. x = 4/3
Bài 29: Giá trị lớn nhất của biểu thức S = 4x - 2x2 + 1 là ?
A. 3 B. 2
C. -3 D. -2
Bài 30: Giá trị của 2x2 + 3( x + 1 )( x - 1 ) = 5x( x + 1 ) thỏa mãn
A. x = 5/3. B. x = - 5/3
C. x = 3/5. D. x = - 3/5.
1. Nhận biết – Thông hiểu
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau
a, ( x2 -1 )( x2 + 2x )
b, ( x + 3 )( x2 + 3x -5 )
c, ( x -2y )( x2y2 - xy + 2y )
d, ( 1/2xy -1 )( x3 -2x -6 )
Hướng dẫn:
a) Ta có: ( x2 -1 )( x2 + 2x ) = x2( x2 + 2x ) - ( x2 + 2x )
= x4 + 2x3 - x2 - 2x.
b) Ta có ( x + 3 )( x2 + 3x -5 ) = x( x2 + 3x -5 ) + 3( x2 + 3x -5 )
= x3 + 3x2 - 5x + 3x2 + 9x - 15 = x3 + 6x2 + 4x - 15
c) Ta có ( x -2y )( x2y2 - xy + 2y ) = x( x2y2 - xy + 2y ) - 2y( x2y2 - xy + 2y )
= x3y2 - x2y + 2xy - 2x2y3 + 2xy2 - 4y2
d) Ta có ( 1/2xy -1 )( x3 -2x -6 ) = 1/2xy( x3 -2x -6 ) - ( x3 -2x -6 )
= 1/2x4y - x2y - 3xy - x3 + 2x + 6
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
a, xy( xy2 + y3 )
b, 2y( x + yz + zx )
c, x2y2( x2 + y2 )
Hướng dẫn:
a) Ta có: xy( xy2 + y3 ) = xy.xy2 + xy.y3 = x2y3 + xy4.
b) Ta có: 2y( x + yz + zx ) = 2y.x + 2y.yz + 2y.zx = 2xy + 2y2z + 2xyz
c) Ta có: x2y2( x2 + y2 ) = x2y2.x2 + x2y2.y2 = x4y2 + x2y4.
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:
Hướng dẫn:
a) Ta có 
(áp dụng hằng đẳng thức a2 - b2 = ( a + b )( a - b ) )
Vậy A= 25/47
b) Ta có 
(áp dụng hằng đẳng thức ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2;( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 )
Vậy B=1
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, ( ab - 1 )2 + ( a + b )2
b, x3 + 2x2 + 2x + 1( ab - 1 )2 + ( a + b )2
c, x2 - 2x - 4y2 - 4y
Hướng dẫn:
a) Ta có ( ab - 1 )2 + ( a + b )2 = a2b2 - 2ab + 1 + a2 + 2ab + b2
= a2b2 + a2 + b2 + 1 = ( a2b2 + a2 ) + ( b2 + 1 )
= a2( b2 + 1 ) + ( b2 + 1 ) = ( a2 + 1 )( b2 + 1 )
b) Ta có x3 + 2x2 + 2x + 1 = ( x3 + 1 ) + ( 2x2 + 2x )
= ( x + 1 )( x2 - x + 1 ) + 2x( x + 1 ) = ( x + 1 )( x2 + x + 1 )
c) Ta có x2 - 2x - 4y2 - 4y = ( x2 - 4y2 ) - ( 2x + 4y )
= ( x - 2y )( x + 2y ) - 2( x + 2y )
= ( x + 2y )( x - 2y - 2 ).
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau A = x6 - 2x4 + x3 + x2 - x, biết x3 - x = 6.
Hướng dẫn:
Ta có: A = x6 - 2x4 + x3 + x2 - x = ( x6 - 2x4 + x2 ) + ( x3 - x )
= ( x3 - x )2 + ( x3 - x )
Với x3 - x = 6, ta có A = 62 + 6 = 36 + 6 = 42.
Vậy A = 42.
Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau
a, P = 12x4y2:( - 9xy2 ) tại x = - 3;y = 1,005.
b, Q = 3x4y3:2xy2 tại x = 2;y = 1.
Hướng dẫn:
a) Ta có P = 12x4y2:( - 9xy2 ) = (12/- 9)x4 - 1y2 - 2 = - 4/3x3
Với x = - 3;y = 1,005 ta có P = - 4/3( - 3 )3 = 36.
Vậy P = 36.
b) Ta có Q = 3x4y3:2xy2 = 3/2x4 - 1y3 - 2 = 3/2x3y.
Với x = 2; y = 1 ta có Q = 3/2( 2 )3.1 = 12.
Vậy Q = 12.
2. Vận dụng – Vận dụng cao.
Bài 1: Tìm biết
a, 4( 18 - 5x ) - 12( 3x - 7 ) = 15( 2x - 16 ) - 6( x + 14 )
b, 2( 5x - 8 ) - 3( 4x - 5 ) = 4( 3x - 4 ) + 11.
c, ( x + 2 )( x + 3 ) - ( x - 2 )( x + 5 ) = 6
d, 3( 2x - 1 )( 3x - 1 ) - ( 2x - 3 )( 9x - 1 ) = 0
Hướng dẫn:
a) Ta có 4( 18 - 5x ) - 12( 3x - 7 ) = 15( 2x - 16 ) - 6( x + 14 )
⇔ 4.18 - 4.5x - 12.3x - 12.( - 7 ) = 15.2x - 15.16 - 6.x - 6.14
⇔ 156 - 56x = 24x - 324 ⇔ 56x + 24x = 156 + 324
⇔ 80x = 480 ⇔ x = 6.
Vậy giá trị x cần tìm là x = 6.
b) Ta có 2( 5x - 8 ) - 3( 4x - 5 ) = 4( 3x - 4 ) + 11
⇔ 2.5x - 2.8 - 3.4x - 3.( - 5 ) = 4.3x - 4.4 + 11
⇔ - 2x - 1 = 12x - 5 ⇔ 12x + 2x = - 1 + 5
⇔ 14x = 4 ⇔ x = 2/7.
Vậy giá trị x cần tìm là x =2/7
c) Ta có ( x + 2 )( x + 3 ) - ( x - 2 )( x + 5 ) = 6
⇔ x( x + 3 ) + 2( x + 3 ) - x( x + 5 ) + 2( x + 3 ) = 6
⇔ x2 + 3x + 2x + 6 - x2 - 5x + 2x + 6 = 6
⇔ 2x = - 6 ⇔ x = - 3.
Vậy giá trị x cần tìm là x = -3
d) Ta có 3( 2x - 1 )( 3x - 1 ) - ( 2x - 3 )( 9x - 1 ) = 0
⇔ 3( 6x2 - 2x - 3x + 1 ) - ( 18x2 - 2x - 27x + 3 ) = 0
⇔ 18x2 - 15x + 3 - 18x2 + 29x - 3 = 0
⇔ 14x = 0 ⇔ x = 0
Vậy giá trị x cần tìm là x =0
Bài 2: Chứng mình rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến y (x≠0; y≠0) với biểu thức đó là A = 2/3x2y3:( - 1/3xy ) + 2x( y - 1 )( y + 1 )
Hướng dẫn:
Ta có A = 2/3x2y3:( - 1/3xy ) + 2x( y - 1 )( y + 1 ) = - 2x2 - 1y3 - 1 + 2x( y - 1 )( y + 1 )
= - 2xy2 + 2x( y2 - 1 ) = - 2xy2 + 2xy2 - 2x = - 2x
⇒ Giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến y
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B với:
A = 7xn - 1y5 - 5x3y4;
B = 5x2yn
Hướng dẫn:
Ta có A:B = ( 7xn - 1y5 - 5x3y4 ):( 5x2yn ) = 7/5xn - 3y5 - n - xy4 - n
Theo đề bài đa thức A chia hết cho đơn thức B
Vậy giá trị n cần tìm là n∈ {3; 4}
Bài 4: Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức n3 + 6n2 -7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n - 2
Hướng dẫn:
Ở đây, ta có thực hiện đặt phép chia như câu 1 để tìm số dư và tìm điều kiện giá trị của n để thỏa mãn đề bài. Nhưng bài này ta làm cách biến đội như sau:
Ta có n3 + 6n2 -7n + 4 = ( n3 - 3n2.2 + 3.n.22 - 8 ) + 12n2 - 19n + 12
= ( n - 2 )3 + 12n( n - 2 ) + 5( n - 2 ) + 22
Khi đó ta có: (n3 + 6n2 - 7n + 4)/n - 2 = ( n - 2 )2 + 12n + 5 + 22/(n - 2)
Để giá trị của biểu thức n3 + 6n2 -7n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức n -2
⇔ ( n - 2 ) ∈ UCLN( 22 ) = {± 1; ± 2; ± 11; ± 22}
⇒ n ∈ {- 20; - 9;0;1;3;4;13;24}
Vậy các giá trị nguyên của n cần tìm là n ∈ {- 20; - 9;0;1;3;4;13;24}
Bài 5: Chứng tỏ rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
a, x( 2x + 1 ) - x2( x + 2 ) + ( x3 - x + 3 )
b, 4( x - 6 ) - x2( 2 + 3x ) + x( 5x - 4 ) + 3x2( x - 1 )
Hướng dẫn:
a) Ta có x( 2x + 1 ) - x2( x + 2 ) + ( x3 - x + 3 ) = ( 2x2 + x ) - ( x3 + 2x2 ) + ( x3 - x + 3 )
= 2x2 + x - x3 - 2x2 + x3 - x + 3 = 3.
Biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
b) Ta có: 4( x - 6 ) - x2( 2 + 3x ) + x( 5x - 4 ) + 3x2( x - 1 )
= ( 4x - 24 ) - ( 2x2 + 3x3 ) + ( 5x2 - 4x ) + ( 3x3 - 3x2 )
= 4x - 24 - 2x2 - 3x3 + 5x2 - 4x + 3x3 - 3x2 = - 24.
Biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
Bài 6: Chứng minh rằng: ( a + b )2 - ( a - b )2 = 4ab.
Từ đó tính:
a, ( a + b )2 biết a - b = 3 và ab = 4.
b, ( a - b )2 biết a + b = 6 và ab = 8.
Hướng dẫn:
Ta có :
⇒ ( a + b )2 - ( a - b )2 = ( a2 + 2ab + b2 ) - ( a2 - 2ab + b2 )
⇒ ( a + b )2 - ( a - b )2 = 4ab.
a) Ta có ( a + b )2 - ( a - b )2 = 4ab ⇔ ( a + b )2 = ( a - b )2 + 4ab
Với a - b = 3 và ab = 4, ta có: ( a + b )2 = 32 + 4.4 = 25.
b) Ta có: ( a + b )2 - ( a - b )2 = 4ab ⇔ ( a - b )2 = ( a + b )2 - 4ab
Với a + b = 6 và ab = 8, ta có: ( a - b )2 = 62 - 4.8 = 36 - 32 = 4.
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a, a3 + b3 + c3 - 3abc
b, x2( y - z ) + y2( z - x ) + z2( x - y )
Hướng dẫn:
a) Ta có a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ) + c3 - 3ab( a + b ) - 3abc
= ( a + b )3 + c3 - 3ab( a + b + c )
= [ ( a + b )3 + 3( a + b )2c + 3( a + b )c2 + c3 ] - 3( a + b )c( a + b + c ) - 3ab( a + b + c )
= ( a + b + c )3 - 3( a + b + c )( ab + bc + ca )
= ( a + b + c )[ ( a + b + c )2 - 3( ab + bc + ca ) ]
= ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca )
b) Ta có z - x = - [ ( y - z ) + ( x - y ) ]
Khi đó ta có: x2( y - z ) + y2( z - x ) + z2( x - y )
= x2( y - z ) - y2[ ( y - z ) + ( x - y ) ] + z2( x - y )
= ( y - z )( x2 - y2 ) - ( x - y )( y2 - z2 )
= ( y - z )( x - y )( x + y ) - ( x - y )( y + z )( y - z )
= ( y - z )( x - y )( x + y - y - z ) = ( y - z )( x - y )( x - z )
Bài 8: Thực hiện các phép chia sau
a, [ 7( x2 - 1 )4 + 2( 1 - x )3 - 3( x - 1 )2 ]:2( x - 1 )2
b, [ 5( x3 - y3 )4 + ( x - y )3 ]:( x2 - 2xy + y2 )
Hướng dẫn:
a) Ta có [ 7( x2 - 1 )4 + 2( 1 - x )3 - 3( x - 1 )2 ]:2( x - 1 )2
= [ 7( x - 1 )4( x + 1 )4 - 2( x - 1 )3 - 3( x - 1 )2 ]:2( x - 1 )2
= 7/2( x - 1 )2( x + 1 )4 - ( x - 1 ) - 3/2
b) Ta có [ 5( x3 - y3 )4 + ( x - y )3 ]:( x2 - 2xy + y2 )
= [ 5( x - y )4( x2 + xy + y2 )4 + ( x - y )3 ]:( x - y )2
= 5( x - y )2( x2 + xy + y2 )4 + ( x - y )
Bài 9: Tìm giá trị của a để biểu thức ( a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a ) chia hết cho ( x + 1 )
Hướng dẫn:
Do ( a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a ) chia hết cho ( x + 1 ) nên ta có thể viết như sau:
( a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a ) = ( mx2 + nx + p )( x + 1 ) ( 1 )
Trong đó thương ( mx2 + nx + p ) là một tam thức bậc ha.
Ta thấy ( 1 ) đúng với mọi giá trị của x, nên cũng đúng với x = - 1
Do đó ta có: - a2 + 3a + 6 - 2a = 0 ⇔ - a2 + a + 6 = 0⇔
Vậy để ( a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a ) chia hết cho ( x + 1 ) thì giá trị của a là a =3 hoặc a = -2
Bài 10: Tìm giá trị của m để đa thức ( x3 + 3x2 - 5x + m ) chia hết cho ( x - 2 )
Hướng dẫn:
Nhận xét: Ở đây, ta có thể đặt phép chia của ( x3 + 3x2 - 5x + m ) cho ( x - 2 ) để tìm số dư, rồi cho số dư đó bằng 0, từ đó tìm được giá trị của m.
Mở rộng: Bài toán này ta áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán.
Ta có: ( x3 + 3x2 - 5x + m ) = ( x3 - 2x2 ) + ( 5x - 10 ) + m + 10
= x2( x - 2 ) + 5( x - 2 ) + m + 10
Nhận thấy: 
Khi đó để ( x3 + 3x2 - 5x + m ) cho ( x - 2 ) khi và chỉ khi m + 10 = 0 ⇔ m = - 10.
Vậy m = - 10 là giá trị cần tìm.
A - Câu hỏi ôn tập chương 1
1. Phát biểu các qui tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.
Trả lời:
- Nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
- Nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
2. Viết bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
Trả lời:
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3) A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5) (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
3. Khi nào thì đơn thức A chia hết cho đơn thức B?
Trả lời:
Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.
4. Khi nào thì đa thức A chia hết cho đơn thức B?
Trả lời:
Khi từng hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B thì đa thức A chia hết cho đơn thức B.
5. Khi nào thì đa thức A chia hết cho đa thức B?
Trả lời:
Khi đa thức A chia hết cho đa thức B được dư bằng 0 thì ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B.
Bài 75 (trang 33 SGK Toán 8 Tập 1): Làm tính nhân:
Lời giải:
a) 5x2.(3x2 – 7x + 2)
= 5x2.3x2 + 5x2.(-7x) + 5x2.2
= (5.3).(x2.x2) + [5.(-7)].(x2.x) + (5.2).x2
= 15x2 + 2 + (-35).x2 + 1 + 10.x2
= 15x4 – 35x3 + 10x2
Kiến thức áp dụng
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
Bài 76 (trang 33 SGK Toán 8 Tập 1): Làm tính nhân:
a) (2x2 – 3x)(5x2 – 2x + 1)
b) (x – 2y)(3xy + 5y2 + x)
Lời giải:
a) (2x2 – 3x)(5x2 – 2x + 1)
= 2x2(5x2 – 2x + 1) + (-3x)(5x2 – 2x + 1)
= 2x2.5x2 + 2x2.(-2x) + 2x2.1 + (–3x).5x2 + (-3x).(-2x) + (-3x).1
= (2.5)(x2.x2) + (2. (-2)).(x2.x) + 2x2 + [(-3).5].(x.x2) + [(-3).(-2).(x.x) + (-3x)
= 10x4 – 4x3 + 2x2 – 15x3 + 6x2 – 3x
= 10x4 – (4x3 + 15x3) + (2x2 + 6x2) – 3x
= 10x4 – 19x3 + 8x2 – 3x
b) (x – 2y)(3xy + 5y2 + x)
= x.(3xy + 5y2 + x) + (-2y).(3xy + 5y2 + x)
= x.3xy + x.5y2 + x.x + (-2y).3xy + (–2y).5y2 + (–2y).x
= 3x2y + 5xy2 + x2 – 6xy2 – 10y3 – 2xy
= 3x2y + (5xy2 – 6xy2) + x2 – 10y3 – 2xy
= 3x2y – xy2 + x2 – 10y3 – 2xy
Kiến thức áp dụng
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
Bài 77 (trang 33 SGK Toán 8 Tập 1): Tính nhanh giá trị của biểu thức:
a) M = x2 + 4y2 – 4xy tại x = 18 và y = 4
b) N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 tại x = 6 và y = - 8
Lời giải:
a) M = x2 + 4y2 – 4xy
= x2 – 2.x.2y + (2y)2 (Hằng đẳng thức (2))
= (x – 2y)2
Thay x = 18, y = 4 ta được:
M = (18 – 2.4)2 = 102 = 100
b) N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3
= (2x)3 – 3(2x)2y + 3.2xy2 – y3 (Hằng đẳng thức (5))
= (2x – y)3
Thay x = 6, y = - 8 ta được:
N = (2.6 – (-8))3 = 203 = 8000
Kiến thức áp dụng
Hằng đẳng thức cần nhớ:
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2 (2)
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 (5)
Bài 78 (trang 33 SGK Toán 8 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x + 2)(x – 2) – (x – 3)(x + 1)
b) (2x + 1)2 + (3x – 1)2 + 2(2x + 1)(3x – 1)
Lời giải:
a) (x + 2)(x – 2) – (x – 3)(x + 1)
= x2 – 22 – (x2 + x – 3x – 3)
= x2 – 4 – x2 – x + 3x + 3
= 2x – 1
b) (2x + 1)2 + (3x – 1)2 + 2(2x + 1)(3x – 1)
= (2x + 1)2 + 2.(2x + 1)(3x – 1) + (3x – 1)2
= [(2x + 1) + (3x – 1)]2
= (2x + 1 + 3x – 1)2
= (5x)2
= 25x2
Bài 79 (trang 33 SGK Toán 8 Tập 1): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 4 + (x – 2)2
b) x3 – 2x2 + x – xy2
c) x3 – 4x2 – 12x + 27
Lời giải:
a) Cách 1: x2 – 4 + (x – 2)2
(Xuất hiện hằng đẳng thức (3))
= (x2– 22) + (x – 2)2
= (x – 2)(x + 2) + (x – 2)2
(Có nhân tử chung x – 2)
= (x – 2)[(x + 2) + (x – 2)]
= (x – 2)(x + 2 + x – 2)
= (x – 2)(2x)
= 2x(x – 2)
Cách 2: x2 – 4 + (x – 2)2
(Khai triển hằng đẳng thức (2))
= x2 – 4 + (x2 – 2.x.2 + 22)
= x2 – 4 + x2 – 4x + 4
= 2x2 – 4x
(Có nhân tử chung là 2x)
= 2x(x – 2)
b) x3 – 2x2 + x – xy2
(Có nhân tử chung x)
= x(x2 – 2x + 1 – y2)
(Có x2 – 2x + 1 là hằng đẳng thức).
= x[(x – 1)2 – y2]
(Xuất hiện hằng đẳng thức (3))
= x(x – 1 + y)(x – 1 – y)
c) x3 – 4x2 – 12x + 27
(Nhóm để xuất hiện nhân tử chung)
= (x3 + 27) – (4x2 + 12x)
= (x3 + 33) – (4x2 + 12x)
(nhóm 1 là HĐT, nhóm 2 có 4x là nhân tử chung)
= (x + 3)(x2 – 3x + 9) – 4x(x + 3)
= (x + 3)(x2 – 3x + 9 – 4x)
= (x + 3)(x2 – 7x + 9)
Bài 80 (trang 33 SGK Toán 8 Tập 1): Làm tính chia:
a) (6x3 – 7x2 – x + 2) : (2x + 1)
b) (x4 – x3 + x2 + 3x) : (x2 – 2x + 3)
c) (x2 – y2 + 6x + 9) : (x + y + 3)
Lời giải:
a) Cách 1: Thực hiện phép chia
Vậy (6x3 – 7x2 – x + 2) : (2x + 1) = 3x2 – 5x + 2
Cách 2: Phân tích 6x3 – 7x2 – x + 2 thành (2x + 1).P(x) + R(x)
6x3 – 7x2 – x + 2
= 6x3 + 3x2 – 10x2 – 5x + 4x + 2
(Tách -7x2 = 3x2 – 10x2; -x = -5x + 4x)
= 3x2.(2x + 1) – 5x.(2x + 1) + 2.(2x + 1)
= (3x2 – 5x + 2)(2x + 1)
Vậy (6x3 – 7x2 – x + 2) : (2x + 1) = 3x2 – 5x + 2
Giải thích cách tách:
Vì có 6x3 nên ta cần thêm 3x2 để có thể phân tích thành 3x2(2x + 1). Do đó ta tách -7x2 = 3x2 – 10x2.
Lại có -10x2 nên ta cần thêm -5x để có thể phân tích thành -5x(2x + 1). Do đó ta tách –x = -5x + 4x.
Có 4x, ta cần thêm 2 để có 2.(2x + 1) nên 2 không cần phải tách.
b)
Cách 1: Thực hiện phép chia
Vậy (x4 – x3 + x2 + 3x) : (x2 – 2x + 3) = x2 + x
Cách 2: Phân tích x4 – x3 + x2 + 3x thành nhân tử có chứa x2 + x
x4 – x3 + x2 + 3x
= x.(x3 – x2 + x + 3)
= x.(x3 – 2x2 + 3x + x2 – 2x + 3)
= x.[x.(x2 – 2x + 3) + (x2 – 2x + 3)]
= x.(x + 1)(x2 – 2x + 3)
Vậy (x4 – x3 + x2 + 3x) : (x2 – 2x + 3) = x(x + 1)
c) Phân tích số bị chia thành nhân tử, trong đó có nhân tử là số chia.
(x2 – y2 + 6x + 9) : (x + y + 3)
(Có x2 + 6x + 9 là hằng đẳng thức)
= (x2 + 6x + 9 – y2) : (x + y + 3)
= [(x2 + 2.x.3 + 32) – y2] : (x + y + 3)
= [(x + 3)2 – y2] : (x + y + 3)
(Xuất hiện hằng đẳng thức (3))
= (x + 3 + y)(x + 3 – y) : (x + y + 3)
= x + 3 – y = x – y + 3
Bài 81 (trang 33 SGK Toán 8 Tập 1): Tìm x, biết:
Lời giải:
(Xuất hiện hằng đẳng thức (3))
⇔ x = 0 hoặc x – 2 = 0 hoặc x + 2 = 0
+ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
+ x + 2 = 0 ⇔ x = -2
Vậy x = 0; x = -2; x = 2
b) (x + 2)2 – (x – 2)(x + 2) = 0
(Có x + 2 là nhân tử chung)
⇔ (x + 2)[(x + 2) – (x – 2)] = 0
⇔ (x + 2)(x + 2 – x + 2) = 0
⇔ (x + 2).4 = 0
⇔ x + 2 = 0
⇔ x = - 2
Vậy x = -2
Bài 82 (trang 33 SGK Toán 8 Tập 1): Chứng minh:
a) x2 – 2xy + y2 + 1 > 0 với mọi số thực x và y.
b) x – x2 – 1 < 0 với mọi số thực x.
Lời giải:
a) Ta có:
x2 – 2xy + y2 + 1
= (x2 – 2xy + y2) + 1
= (x – y)2 + 1.
(x – y)2 ≥ 0 với mọi x, y ∈ R
⇒ x2 – 2xy + y2 + 1 = (x – y)2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0 với mọi x, y ∈ R (ĐPCM).
b) Ta có:
Ta có: 
với mọi số thực x
⇒ 
với mọi số thực x
⇒ 
với mọi số thực (ĐPCM)
Bài 83 (trang 33 SGK Toán 8 Tập 1): Tìm n ∈ Z để 2n2 – n + 2 chia hết cho 2n + 1.
Lời giải:
Cách 1: Thực hiện phép chia 2n2 – n + 2 cho 2n + 1 ta có:
2n2 – n + 2 chia hết cho 2n + 1
⇔ 3 ⋮ (2n + 1) hay (2n + 1) ∈ Ư(3)
⇔ 2n + 1 ∈ {±1; ±3}
+ 2n + 1 = 1 ⇔ 2n = 0 ⇔ n = 0
+ 2n + 1 = -1 ⇔ 2n = -2 ⇔ n = -1
+ 2n + 1 = 3 ⇔ 2n = 2 ⇔ n = 1
+ 2n + 1 = -3 ⇔ 2n = -4 ⇔ n = -2.
Vậy n ∈ {-2; -1; 0; 1.}
Cách 2:
Ta có:
2n2 – n + 2 chia hết cho 2n + 1
⇔ 2n + 1 ∈ Ư(3) = {±1; ± 3}.
+ 2n + 1 = 1 ⇔ 2n = 0 ⇔ n = 0
+ 2n + 1 = -1 ⇔ 2n = -2 ⇔ n = -1
+ 2n + 1 = 3 ⇔ 2n = 2 ⇔ n = 1
+ 2n + 1 = -3 ⇔ 2n = -4 ⇔ n = -2.
Vậy n ∈ {-2; -1; 0; 1.}
Chú ý: Đa thức A chia hết cho đa thức B khi phần dư của phép chia bằng 0.
Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 8 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán Đại 8 và Toán Hình 8. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 8 khác nhau
#soanbaitap
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét