Ôn tập chương II – Hàm số bậc nhất - soanbaitap.com

1. Khái niệm hàm số

• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, x được gọi là biến số.

• Hàm số có thể cho bằng bảng hoặc công thức.

• Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y được gọi là hàm hằng.

2. Đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

3. Hàm số đồng biến, nghịch biến.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực R Với x1, x2 ∈ R ta có:

• Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số đồng biến.

• Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số nghịch biến.

1. Định nghĩa

• Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số cho trước và a ≠ 0

• Đặc biệt, khi b = 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y = ax , biểu thị tương quan tỉ lệ thuận giữa y và x.

2. Tính chất.

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x ∈ R và có tính chất:

a) Đồng biến trên R, khi a > 0.

b) Nghịch biến trên R, khi a < 0.

3. Nhận xét về đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) .

• Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ mà ta gọi là đường thẳng y = ax. Đường thẳng y = ax nằm ở góc phần tư thứ I và thứ III khi a > 0 ; nằm ở góc phần tư thứ II và thứ IV khi a < 0 .

• Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng:

• Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.

• Song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0 , và trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0

4. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) .

• Bước 1: Cho x = 0 thì y = b , ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành

• Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) .

5. Kiến thức mở rộng

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm A(x1; y2) ; B(x2; y2) ta có:

•

• M(x; y) là trung điểm của AB

• A đối xứng với B qua trục hoành

• A đối xứng với B qua trục tung

• A đối xứng với B qua gốc O

• A đối xứng với B qua đường thẳng y = x

• A đối xứng với B qua đường thẳng y = -x

1. Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau.

Cho hai đường thẳng (d1 ): y = ax + b (a ≠ 0); (d2): y = a'x + b' (a' ≠ 0)

• Khi a ≠ 0 và b = b’ thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung có tung độ là b.

2. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

* Cho đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) thì a được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

* Tính chất

• Khi a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn.Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90°.

• Khi a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180°.

3. Kiến thức bổ sung

Cho hai đường thẳng (d1): y = ax + b (a ≠ 0); (d2): y = a'x + b' (a' ≠ 0) .

• (d1) ⊥ (d2) ⇔ a.a' = -1

• Nếu (d1) cắt (d2) thì hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình ax + b = a'x + b'

Câu 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = x - 2 và (d2): y = 2 - x

a) Vẽ hai đường thẳng trên cùng trục

b) Tìm tọa độ giao điểm của (d1), (d2)

c) Vẽ đồ thị hàm số y = |x - 2|

d) Biện luận số nghiệm của phương trình m = |x - 2|

Câu 2: Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 và song song với đường thẳng OA, trong đó O là gốc tọa độ và điểm A(2; 1)

Câu 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; -2) và thỏa mãn:

Câu 4: Cho hai hàm số y = (m + 3)x - 1 (1) và y = (1 - 2m)x + 5 (2)

Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số là hai đường thẳng

a) Song song

b) Cắt nhau

c) Trùng nhau

Câu 5: Cho hàm số y = (m - 1)x + m (d)

a) Tìm điểm M cố định mà đồ thị đi qua với mọi m

b) Viết đường thẳng đi qua điểm M và gốc tọa độ

c) Tìm m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất.

Câu 6: Cho đường thẳng y = mx + m - 1 (m là tham số) (1)

a) Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.

Câu 7: Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất; góc phần tư thứ hai với mx + 2y = 5 (1) và 2x + y = 1 (2)

Câu 8: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = 2|x - 2| - 3

b) y = |x - 1| + |x - 3|

Câu 9: Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy:

(d1 ):y = 2x - 3, (d2): y = x - 1, (d3): y = (m - 1)x + 2m

Câu 10: Cho điểm B(4; 1). Đường thẳng (d) đi qua B cắt Ox, Oy theo thứ tự tại I(a; 0), J(0; b) với a, b > 0

a) Viết phương trình đường thẳng d để diện tích Δ OIJ nhỏ nhất

b) Tìm b để (OI + OJ) nhỏ nhất

Bài 32 (trang 61 SGK Toán 9 Tập 1): a) Với những giá trị nào của m thì hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + 3 đồng biến?

b) Với những giá trị nào của k thì hàm số bậc nhất y = (5 – k)x + 1 nghịch biến?

Lời giải:

a) Hàm số y = (m – 1)x + 3 là hàm số bậc nhất đối với x khi m – 1 ≠ 0 hay m ≠ 1 (*)

Hàm số đồng biến khi m – 1 > 0 hay m > 1.

Kết hợp với điều kiện (*) ta được với m > 1 thì hàm số đồng biến.

b) Hàm số y = (5 – k)x + 1 là hàm số bậc nhất đối với x khi 5 – k ≠ 0 hay k ≠ 5 (**).

Hàm số nghịch biến khi 5 – k < 0 hay k > 5.

Kết hợp với điều kiện (**) ta được với k > 5 thì hàm số nghịch biến.

Bài 34 (trang 61 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm giá trị của a để hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 (a ≠ 1) và y = (3 – a)x + 1 (a ≠ 3) song song với nhau.

Lời giải:

Theo đề bài ta có b ≠ b' (vì 2 ≠ 1)

Nên hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song với nhau khi và chỉ khi:

a – 1 = 3 – a

=> a = 2 (thỏa mãn a ≠ 1 và a ≠ 3)

Vậy với a = 2 thì hai đường thẳng song song với nhau.

Bài 36 (trang 61 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hai hàm số bậc nhất y = ( k + 1)x + 3 và y = (3 – 2k)x + 1.

a) Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau?

b) Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng cắt nhau?

c) Hai đường thẳng nói trên có thể trùng nhau được không? Vì sao?

Lời giải:

Hàm số y = ( k + 1)x + 3 có các hệ số a = k + 1, b = 3

Hàm số y = (3 – 2k)x + 1 có các hệ số a' = 3 - 2k, b' = 1

Hai hàm số là hàm số bậc nhất nên a và a' khác 0, tức là:

a) Theo đề bài ta có b ≠ b' (vì 3 ≠ 1)

Nên hai đường thẳng y = (k + 1)x + 3 và y = (3 – 2k)x + 1 song song với nhau khi a = a'

tức là: k + 1 = 3 – 2k

b) Hai đường thẳng y = (k + 1)x + 3 và y = (3 – 2k)x + 1 là hàm số bậc nhất nên a ≠ 0 và a' ≠ 0. Hai đường thẳng này cắt nhau khi a ≠ a' tức là:

Vậy với  thì đồ thị của hai hàm số trên là hai đường thẳng cắt nhau.

c) Do b ≠ b' (vì 3 ≠ 1) nên hai đường thẳng không thể trùng nhau với mọi giá trị k.

Bài 37 (trang 61, 62 SGK Toán 9 Tập 1): a) Vẽ đồ thị hai hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

y = 0,5x + 2     (1);         y = 5 – 2x     (2)

b) Gọi giao điểm của các đường thẳng y = 0,5x + 2 và y = 5 – 2x với trục hoành theo thứ tự là A, B và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là C.

Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC và BC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

d) Tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1) và (2) với trục Ox (làm tròn đến phút).

Lời giải:

a) - Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x + 2 (1)

Cho x = 0 => y = 2 được D(0; 2)

Cho y = 0 => 0 = 0,5.x + 2 => x = -4 được A(-4; 0)

Nối A, D ta được đồ thị của (1).

- Vẽ đồ thị hàm số y = 5 – 2x (2)

Cho x = 0 => y = 5 được E(0; 5)

Cho y = 0 =>0 = 5 – 2x => x = 2,5 được B(2,5; 0)

Nối B, E ta được đồ thị của (2).

b) Ở câu a) ta tính được tọa độ của hai điểm A và B là A(-4 ; 0) và B (2,5 ; 0)

Hoành độ giao điểm C của hai đồ thị (1) và (2) là nghiệm của phương trình:

0,5 x + 2 = 5 - 2x

⇔ 0,5x + 2x = 5 – 2

⇔ 2,5.x = 3 ⇔ x = 1,2

⇒ y = 0,5.1,2 + 2 = 2, 6

Vậy tọa độ điểm C(1,2; 2,6).

c) AB = AO + OB = |-4| + |2,5| = 6,5 (cm)

Gọi H là hình chiếu của C trên Ox, ta có H( 1,2; 0)

Ta có: AH = AO + OH = 4 + 1,2 = 5,2

BH = BO – OH = 2,5 – 1,2 = 1,3

CH = 2,6

d) Gọi α là góc hợp bởi đường thẳng y = 0,5x + 2 với tia Ox.

Ta có: tgα = 0,5 => α = 26o34'

Gọi β là góc hợp bởi đường thẳng y = 5 - 2x với tia Ox

Tam giác OEB vuông tại O nên:

Bài 38 (trang 62 SGK Toán 9 Tập 1): a) Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

y = 2x     (1);         y = 0,5x     (2);         y = -x + 6     (3)

b) Gọi các giao điểm của đường thẳng có phương trình (3) với hai đường thẳng có phương trình (1) và (2) theo thứ tự là A và B. Tìm tọa độ của hai điểm A và B.

c) Tính các góc của tam giác OAB.

Hướng dẫn câu c)

Tính OA, OB rồi chứng tỏ tam giác OAB là tam giác cân.

Lời giải:

a) – Vẽ đồ thị y = 2x (1):

Cho x= 0 ⇒ y= 0 ta được O (0, 0)

Cho x= 2 ⇒ y = 4 ta được điểm (2; 4)

- Vẽ đồ thị y = 0,5x (2):

Cho x= 0 ⇒ y = 0 ta được O (0; 0)

Cho x = 4 ⇒ y = 2 ta được điểm (4; 2)

- Vẽ đồ thị y = -x + 6 (3):

Cho x = 0 ⇒ y = 6 được điểm (0; 6)

Cho y = 0 ⇒ x = 6 được điểm (6; 0)

b) Theo đề bài A, B theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng (3) với các đường thẳng (1) và (2), nên ta có:

Hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình:

- x + 6 = 2x ⇒ x = 2

=> y = 4 => A(2; 4)

Hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình:

- x + 6 = 0,5x ⇒ x = 4

⇒ y = 2 ⇒ B(4; 2)

c) Ta có:

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 9 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán hình 9 và Toán đại 9. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 9 khác nhau.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#soanbaitap