Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu - soanbaitap.com

1. Hình cầu.

Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định thì được một hình cầu.

+ Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo thành một mặt cầu.

+ Điểm O được gọi tâm, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu đó.

2. Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng

Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn.

Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta được một đường tròn:

+ Đường tròn đó có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua tâm (gọi là đường tròn lớn).

+ Đường tròn đó có bán kính bé hơn R nếu mặt phẳng không đi qua tâm.

3. Diện tích – thể tích của hình cầu

Cho hình cầu bán kính R.

+ Diện tích mặt cầu: S = 4πR²

+ Thể tích hình cầu:

4. Ví dụ cụ thể

Câu 1: Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính bằng ) đúng bằng số đo thể tích của nó (tính bằng ). Tính bán kính của hình cầu đó.

Hướng dẫn:

Câu 2: Tính bán kính của một mặt cầu, biết rằng mặt cầu đó có số đo đại số diện tích bằng số đo thể tích

Giải:

Theo bài ra ta có: 4/3.π.R³ = 4πR³ ⇔ R/3 = 1 ⇔ R = 3 (đơn vị độ đài)

Vậy bán kính mặt cầu là 3

Câu 1: Khi bán kính của một mặt cầu tăng lên 3/2 lần thì diện tích và thể tích thay đổi như thế nào?

Câu 2: Giả sử trái cam có hình tương tự như mặt cầu, bạn Lan cắt trái cam làm đôi và tiến hành đo đường kính của nửa trái cam vừa cắt, bạn đo được bán kính tính cả vỏ cam là 2,5cm, biết vỏ cam dày 3mm. Hãy tính thể tích thực của quả cam đó.

Bài 30 (trang 124 SGK Toán 9 Tập 2): Nếu thể tích của một hình cầu là  cm³ thì trong các kết quả sau đây, kết quả nào là bán kính của nó (lấy  )?

(A) 2cm;    (B) 3cm;    (C) 5cm;

(D) 6cm;    (E) Một kết quả khác.

Lời giải

Kiến thức áp dụng

Hình cầu có bán kính R có thể tích 

Bài 31 (trang 124 SGK Toán 9 Tập 2): Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau:

Bán kính hình cầu	0,3mm	6,21dm	0,283m	100km	6hm	50dam
Diện tích mặt cầu
Thể tích hình cầu

Lời giải

Bán kính hình cầu	0,3mm	6,21dm	0,283m	100km	6hm	50dam
Diện tích mặt cầu	1,13mm2	484,37dm2	1,01m2	125699km2	452,16hm2	31400dam2
Thể tích hình cầu	0,113mm3	1002,64dm3	0,095m3	4186666,67km3	904,32hm3	523333,34dam3

Cách tính:

Dòng thứ nhất : S = 4πR² . Thay số vào ta được

R = 0,3 mm ⇒ S = 4.3,14. 0,3² = 1,13 (mm²)

R = 6,21 dm ⇒ S = 4.3,14. 6,21² = 484,37 (dm²)

R = 0,283 m ⇒ S = 4.3,14. 0,283² = 1,01 (m²)

R = 100 km ⇒ S = 4.3,14. 100² = 125600 (km²)

R = 6 hm ⇒ S = 4.3,14. 6² = 452,16 (hm²)

R = 50 dam ⇒ S = 4.3,14. 50 ²= 31400 (dam²)

Dòng thứ hai : V = 4/3 πR³ thay số vào ta được :

R = 0,3 mm ⇒ V = 4/3.3,14.0,3³ = 0,113 (mm³)

R = 6,21 dm ⇒ V = 4/3.3,14. 6,21³ = 1002,64 (dm³)

R = 0,283 m ⇒ V = 4/3.3,14. 0,283 ³= 0,095 (m³)

R = 100 km ⇒ V = 4/3.3,14. 100³ = 4186666,67 (km³)

R = 6 hm ⇒ V = 4/3.3,14. 6³ = 904,32 (hm³)

R = 50 dam ⇒ V = 4/3.3,14. 50³ = 523333,34 (dam³)

Kiến thức áp dụng

Diện tích mặt cầu bán kính R : S = 4πR².

Thể tích hình cầu bán kính R : 

Bài 32 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2): Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r, chiều cao 2r (đơn vị :cm). Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 108. Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại (diện tích cả ngoài lẫn trong).

Hình 108

Lời giải

Diện tích phần cần tính gồm diện tích xung quanh của một hình trụ bán kính đường tròn đáy r (cm), chiều cao là 2r (cm) và một mặt cầu bán kính r (cm).

Diện tích xung quanh của hình trụ:

S_xq = 2πrh = 2πr.2r = 4πr²

Diện tích mặt cầu:

S = 4πr²

Diện tích cần tính là:

4πr² + 4πr² = 8πr²

Kiến thức áp dụng

+ Diện tích xung quanh hình trụ chiều cao h, bán kính đáy R là : S = 2π.R.h

+ Diện tích xung quanh mặt cầu có bán kính R là : S = 4π.R².

Bài 33 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2): Dụng cụ thể thao.

Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

Loại bóng	Quả bóng gôn	Quả khúc côn cầu	Quả ten-nit	Quả bóng bàn	Quả bi-a
Đường kính	42,7mm		6,5cm	40mm	61mm
Độ dài đường tròn lớn		23cm
Diện tích
Thể tích

Lời giải

Loại bóng	Quả bóng gôn	Quả khúc côn cầu	Quả ten-nit	Quả bóng bàn	Quả bi-a
Đường kính	42,7mm	7,32cm	6,5cm	40mm	61mm
Độ dài đường tròn lớn	134,08mm	23cm	20,41cm	125,6mm	171,71mm
Diện tích	57,25cm2	168,25cm2	132,67cm2	5024mm2	11683,94mm2
Thể tích	40,74cm3	205,26cm3	143,72cm3	33,49 cm3	118,79cm3

Cách tính:

+ Quả bóng gôn:

d = 42,7mm ⇒ R = d/2 = 21,35 mm

⇒ Độ dài đường tròn lớn: C = 2π.R=2.3,14.21,35 ≈ 134,08 (mm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = πd² = 3,14.(42,7)² ≈ 5725 mm² = 57,25 (cm²).

⇒ Thể tích khối cầu: 

+ Quả khúc côn cầu:

C = πd = 23cm ⇒  ≈ 7,32 (cm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = πd²=3,14.(7,32)² = 168,25 (cm²).

⇒ Thể tích khối cầu: 

+ Quả ten-nít:

d = 6,5cm

⇒ Độ dài đường tròn lớn: C = π.d = 3,14.6,5 = 20,41 (cm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = πd²= 3,14.(6,5)²=132,67 (cm²)

⇒ Thể tích khối cầu: 

+ Quả bóng bàn:

d = 40mm

⇒ Độ dài đường tròn lớn C = π.d =3,14.40 ≈ 125,6 (mm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = π.d²=3,14.40² = 5024 (mm²)

⇒ Thể tích khối cầu: 

+ Quả bi-a;

d = 61mm

⇒ Độ dài đường tròn lớn C = π.d =3,14.61 = 191,54 (mm)

⇒ Diện tích mặt cầu: S = π.d²=3,14.61² ≈ 11683,94 (mm²)

⇒ Thể tích khối cầu: 

Kiến thức áp dụng

Hình cầu có bán kính R, đường kính d = 2R.

+ Độ dài đường tròn lớn: C = π.d

+ Diện tích mặt cầu: S = π.d²

+ Thể tích khối cầu: 

Bài 34 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2): Khinh khí cầu của nhà Mông-gôn-fi-ê (Montgolfier)

Ngày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu có đường kính 11m. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hình 109

Lời giải

Diện tích mặt khinh khí cầu là:

S= πd²=3,14.11²=379,94 ( m²)

Kiến thức áp dụng

Hình cầu có bán kính R, đường kính d thì có diện tích mặt cầu : S = 4π.R² = πd².

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 9 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán hình 9 và Toán đại 9. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 9 khác nhau.

 

 

 

 

 

 

 

 

#soanbaitap