1. Góc ở tâm
Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm.
+ Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung.
⋅ Với các góc α ( 0 < α < 180°) thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ.
⋅ Cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.
2. Số đo góc.
+ Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
+ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).
+ Số đo của nửa đường tròn bằng 180°
+ Kí hiệu số đo của cung AB là sđ 
.
3. Liện hệ giữa cung và dây
a) Định lí 1
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
b) Định lí 2
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
c) Mở rộng
+ Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
4. Góc nội tiếp
a) Định nghĩa
+ Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
+ Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.
b) Định lý.
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+ Ta có thể viết:
c) Hệ quả.
Trong một đường tròn:
+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
+ Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
5. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
a) Định nghĩa
+ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn.
+ Cung nằm bên trong là cung bị chắn.
b) Định lý.
Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
6. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
+ Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.
+ Hình vẽ: Góc ∠BEC là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn chắn hai cung là 
+ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Hay 
7. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
+ Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung với đường tròn.
+ Hai cung bị chắn là hai cung nằm bên trong góc, hình vẽ trên: Góc ∠BEC là góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung là
+ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Hay 
8. Tứ giác nội tiếp
a) Định nghĩa
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm tên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)
b) Định lý.
+ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.
+ Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.
+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
+ Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hìn chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.
9. Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
a) Định nghĩa
+ Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.
b) Định lý
+ Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
+ Tâm của hai đường tròn này trùng nhau và được gọi là tâm của đa giác đều.
+ Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc.
10. Độ dài đường tròn
“ Độ dài đường tròn” hay còn được gọi là “ chu vi đường tròn” được kí hiệu là C.
Ta có: C = 2πR hoặc C = πd
Trong đó: C là độ dài đường tròn.
R là bán kính đường tròn.
d là đường kính của đường tròn
11. Độ dài của cung tròn
Độ dài cung tròn n° là I = πRn/180.
Trong đó: l là độ dài cung tròn n°.
R là bán kính đường tròn.
n là số đo độ của góc ở tâm.
12. Diện tích hình tròn
Công thức diện tích hình tròn là:
Trong đó: S là diện tích của đường tròn.
R là bán kính đường tròn.
d là đường kính của đường tròn
13. Diện tích của hình quạt tròn
Công thức diện tích hình quạt tròn là:
Trong đó: S là diện tích của hình quạt tròn.
R là bán kính đường tròn.
l là độ dài cung tròn n°.
Câu 1: Cho hình vẽ sau:
Tính số đo cung nhỏ AB, 
từ đó so sánh cạnh AC và AD
Câu 2: Cho đường tròn (O; R) đường kính BC cố định. Điểm A di động trên đường tròn khác B và C. Vẽ đường kính AOD. Xác định vị trí điểm A để diện tích ΔABC đạt giá trị lớn nhất, khi đó 
Câu 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2m, dây CD // AB (C ∈ AD⌢). Tính độ dài các cạnh của hình thang ABCD biết chu vi hình thang bằng 5cm.
Câu 4: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn, từ M vẽ cát tuyến MAB đến đường tròn. C là điểm trên đường tròn khác A và B. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) khi và chỉ khi MC2 = MA.MB .
Câu 5: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') cắt (O) tại C và đối với đường tròn (O) cắt (O') tại D.
Chứng minh AB2 = BD.BC
Câu 6: Cho cung AB cố định tạo bởi các bán kính OA, OB vuông góc với nhau, điểm I chuyển động trên cung AB. Trên tia OI lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ I đến OA và OB. Tìm quỹ tích các điểm M.
Câu 7: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AC. C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách từ C đến AB.
Câu 8: Giả sử A và B là hai điểm phân biệt trên đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại điểm M. Từ A kẻ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn (O) tại C. MC cắt đường tròn (O) tại E. Các tia AE và MB cắt nhau tại K. Chứng minh rằng MK2 = AK.EK và MK = KB.
Câu 9: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) . Gọi O là trung điểm của BC. Dựng đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại D, E. M là điểm chuyển động trên cung nhỏ DE tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh BC2 = 4BP.CQ và tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác APQ lớn nhất.
Câu 10: Trên đường tròn (O) cho các điểm A, B, C, D theo thứ tự đó. Gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là điểm chính giữa của các cung AB, BC, CD và DA. Chứng minh các đường thẳng A1C1 và B1D1 vuông góc với nhau
Bài 88 (trang 103 SGK Toán 9 Tập 2): Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây:
(Ví dụ. góc trên hình 66b) là góc nội tiếp).
Hình 66
Lời giải
a) Góc ở tâm.
b) Góc nội tiếp.
c) Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
d) Góc có đỉnh bên trong đường tròn.
e) Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.
Bài 89 (trang 104 SGK Toán 9 Tập 2): Trong hình 67, cung AmB có số đo là 60o. Hãy:
a) Vẽ góc ở tâm chắn cung AmB. Tính góc AOB.
b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn cung AmB. Tính góc ACB.
c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA. Tính góc ABt.
d) Vẽ góc ADB có đỉnh D ở bên trong đường tròn. So sánh 
e) Vẽ góc AEB có đỉnh E ở bên ngoài đường tròn (E và C cùng phía đối với AB). So sánh 
Lời giải
Bài 90 (trang 104 SGK Toán 9 Tập 2): a) Vẽ hình vuông cạnh 4cm.
b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính R của đường tròn này.
c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính r của đường tròn này.
Lời giải
a) Vẽ hình vuông ABCD có cạnh 4cm.
b) Vẽ hai đường chéo AC và BD. Chúng cắt nhau tại O.
Đường tròn (O; OA) là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Ta có:
(cm)
⇒ R = OA = AC/2 = 2√2 (cm).
c) Gọi H là trung điểm AB.
(O ; OH) là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
r = OH = AD/2 = 2cm.
Bài 92 (trang 104 SGK Toán 9 Tập 2): Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài: cm).
Lời giải
* Hình c
Dựa vào hình vẽ,diện tích phần gạch sọc bằng diện tích hình vuông trừ đi bốn phần diện tích hình quạt ở bốn góc ( Mỗi hình quạt tương ứng 1/4 hình tròn bán kính 1,5 cm. Do đó, tổng 4 phần tương ứng với diện tích của một hình tròn bán kính 1,5 cm )
Hình vuông có độ dài cạnh 3 cm nên có diện tích là: S = 32 = 9 ( cm2).
Hình tròn có bán kính là R= 1,5 cm nên diện tích hình tròn là:
s= π.1,52 cm2
Diện tích phần gạch sọc là: Ssọc= S – s = 9- π.1,52≈ 1, 94 cm2
Bài 93 (trang 104-105 SGK Toán 9 Tập 2): Có ba bánh xe răng cưa A, B, C cùng chuyển động ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng. Biết bán kính bánh xe C là 1cm. Hỏi:
a) Khi bánh xe C quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
c) Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu?
Lời giải
Ta có bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng nên suy ra chu vi của bánh xe B gấp đôi chu vi bánh xe C, chu vi bánh xe A gấp ba chu vi bánh xe C.
Chu vi bánh xe C là: 2. 3,14 . 1 = 6,28 (cm)
Chu vi bánh xe B là: 6,28 . 2 = 12,56 (cm)
Chu vi bánh xe A là: 6,28 . 3 = 18,84 (cm)
a) Khi bánh xe C quay được 60 vòng thì quãng đường đi được là:
60 . 6,28 = 376,8 (cm)
Khi đó số vòng quay của bánh xe B là:
376,8 : 12,56 = 30 (vòng)
b) Khi bánh xe A quay được 80 vòng thì quãng đường đi được là:
80 . 18,84 = 1507,2 (cm)
Khi đó số vòng quay của bánh xe B là:
1507,2 : 12,56 = 120 (vòng)
c) Bán kính bánh xe B là: 12,56 : (2π) = 12,56 : 6,28 = 2(cm)
Bán kính bánh xe A là: 18,84 : (2π) = 18,84 : 6,28 = 3(cm)
Bài 94 (trang 105 SGK Toán 9 Tập 2): Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (h.72). Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Có phải ½ số học sinh là học sinh ngoại trú không ?
b) Có phải 1/3 số học sinh là học sinh bán trú không?
c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm?
d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 1800 em.
Lời giải
d)
* Số học sinh ngoại trú chiếm ½ tổng số học sinh nên số học sinh ngoại trú là:
* Số học sinh bán trú chiếm 1/3 tổng số học sinh nên số học sinh ngoại trú là:
*Số học sinh nội trú là 1800 – 900 - 600 = 300 học sinh
Bài 95 (trang 105 SGK Toán 9 Tập 2): Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác 90o) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) CD = CE ; b) ΔBHD cân ; c) CD = CH.
Lời giải
a) * Cách 1.
b) Do 
( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
Suy ra: BC là tia phân giác của góc 
.
Xét tam giác BHD có BA’ vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác BHD cân tại B.
Bài 96 (trang 105 SGK Toán 9 Tập 2): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:
a) OM đi qua trung điểm của dây BC.
b) AM là tia phân giác của góc OAH.
Lời giải
Bài 97 (trang 105 SGK Toán 9 Tập 2): Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
Lời giải
a) 
⇒ A ∈ đường tròn đường kính BC.
D ∈ đường tròn đường kính MC
⇒ D ∈ đường tròn đường kính BC
⇒ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC
hay tứ giác ABCD nội tiếp.
b) Xét đường tròn đường kính BC:
đều là góc nội tiếp chắn cung 
c) + Trong đường tròn đường kính MC:
đều là các góc nội tiếp cùng chắn cung 
+ Trong đường tròn đường kính BC:
đều là các góc nội tiếp chắn cung 
Bài 97 (trang 105 SGK Toán 9 Tập 2): Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
Lời giải
a) ⇒ A ∈ đường tròn đường kính BC.
D ∈ đường tròn đường kính MC
⇒ D ∈ đường tròn đường kính BC
⇒ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC
hay tứ giác ABCD nội tiếp.
b) Xét đường tròn đường kính BC:
đều là góc nội tiếp chắn cung
c) + Trong đường tròn đường kính MC:
đều là các góc nội tiếp cùng chắn cung
+ Trong đường tròn đường kính BC:
đều là các góc nội tiếp chắn cung
Bài 99 (trang 105 SGK Toán 9 Tập 2): Dựng ΔABC, biết BC = 6cm, 
, đường cao AH có độ dài là 2cm.
Lời giải
Cách dựng:
+ Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.
+ Dựng cung chứa góc 80º trên đoạn thẳng BC (tương tự bài 46) :
Dựng tia Bx sao cho 
Dựng tia By ⊥ Bx.
Dựng đường trung trực của BC cắt By tại O.
Dựng đường tròn (O; OB).
Cung lớn BC chính là cung chứa góc 800 dựng trên đoạn BC.
+ Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một đoạn 2cm:
Lấy D là trung điểm BC.
Trên đường trung trực của BC lấy D’ sao cho DD’ = 2cm.
Dựng đường thẳng d đi qua D’ và vuông góc với DD’.
+ Đường thẳng d cắt cung lớn BC tại A.
Ta được ΔABC cần dựng.
Chứng minh:
+ Theo cách dựng có BC = 6cm.
+ A ∈ cung chứa góc 80o dựng trên đoạn BC
+ A ∈ d song song với BC và cách BC 2cm
⇒ AH = DD’ = 2cm.
Vậy ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Biện luận: Do d cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.
Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 9 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán hình 9 và Toán đại 9. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 9 khác nhau.
#soanbaitap
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét