Mệnh đề - soanbaitap.com

Bài 1 (trang 9 SGK Đại số 10): Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?

a) 3 + 2 = 7 ;         b) 4 + x = 3;

c) x + y > 1 ;         d) 2 - √5 < 0

Lời giải:

a) 3 + 2 = 7 là mệnh đề và là mệnh đề sai

Vì 3 + 2 = 5 ≠ 7

b) 4 + x = 3 là mệnh đề chứa biến

Vì với mỗi giá trị của x ta được một mệnh đề.

Ví dụ : với x = 1 ta có mệnh đề « 4 + 1 = 3 ».

với x = –1 ta có mệnh đề « 4 + (–1) = 3 ».

với x = 0 ta có mệnh đề 4 + 0 = 3.

c) x + y > 1 là mệnh đề chứa biến

Vì với mỗi cặp giá trị của x, y ta được một mệnh đề.

Ví dụ : x = 0 ; y = 1 ta có mệnh đề « 0 + 1 > 1 »

x = 1 ; y = 3 ta có mệnh đề « 1 + 3 > 1 ».

d) 2 – √5 < 0 là mệnh đề và là mệnh đề đúng

Vì 2 = √4 và √4 < √5.

Kiến thức áp dụng

Bài 2 (trang 9 SGK Đại số 10): Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó:

a) 1794 chia hết cho 3 ;         b) √2 là một số hữu tỉ

c) π < 3, 15 ;         d) |-125| ≤ 0

Lời giải:

a) Mệnh đề « 1794 chia hết cho 3 » đúng vì 1794 : 3 = 598

Mệnh đề phủ định: "1794 không chia hết cho 3"

b) Mệnh đề “√2 là số hữu tỉ’’ sai vì √2 là số vô tỉ

Mệnh đề phủ định: "√2 không phải là một số hữu tỉ"

c) Mệnh đề π < 3, 15 đúng vì π = 3,141592654…

Mệnh đề phủ định: "π ≥ 3, 15"

d) Mệnh đề ‘’|–125| ≤ 0’’ sai vì |–125| = 125 > 0

Mệnh đề phủ định: "|–125| > 0"

Kiến thức áp dụng

+ Ta được mệnh đề phủ định của mệnh đề P khi thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”) vào trước vị ngữ của mệnh đề P.

+ Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P−.

+ P đúng thì P− sai và ngược lại; P sai thì P− đúng.

Kiến thức mở rộng

Chứng minh √2 là số vô tỉ:

Giả sử √2 là số hữu tỉ.

Mọi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng phân số nên tồn tại số nguyên p, q thỏa mãn √2 = p/q với (p; q) = 1.

Khi đó p² / q² = 2 nên p² ⋮ 2, suy ra p ⋮ 2. Đặt p = 2k.

Khi đó (2k)² = 2. q² ⇒ 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k² ⇒ q² ⋮ 2 ⇒ q ⋮ 2.

Vậy p ⋮2 và q ⋮ 2, trái với điều kiện (p; q) = 1.

Vậy √2 là số vô tỉ. 8

Bài 3 (trang 9 SGK Đại số 10): Cho các mệnh đề kéo theo:

Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên).

Các số nguyên tố có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.

Một tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau.

Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.

a) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên.

b) Hãy phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện đủ".

c) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần".

Lời giải:

Mệnh đề	Mệnh đề đảo	Phát biểu bằng khái niệm “ điều kiện đủ”	Phát biểu bằng khái niệm “điều kiện cần”
Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c.	Nếu a + b chia hết cho c thì cả a và b đều chia hết cho c.	a và b chia hết cho c là điều kiện đủ để a + b chia hết cho c.	a + b chia hết cho c là điều kiện cần để a và b chia hết cho c.
Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.	Các số nguyên chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0.	Một số nguyên tận cùng bằng 0 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5.	Các số nguyên chia hết cho 5 là điều kiện cần để số đó có tận cùng bằng 0.
Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau	Tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân.	Tam giác cân là điều kiện đủ để tam giác đó có hai đường trung tuyến bằng nhau.	"Hai trung tuyến của một tam giác bằng nhau là điều kiện cần để tam giác đó cân.
Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau	Hai tam giác có diện tích bằng nhau là hai tam giác bằng nhau.	Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau.	Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau.

Kiến thức áp dụng

Nếu ta có mệnh đề P ⇒ Q thì ta nói

+ P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P.

+ Q ⇒ P là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

Bài 4 (trang 9 SGK Đại số 10): Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ".

a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.

b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.

c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.

Lời giải:

a) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để nó là một hình thoi.

c) Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là biệt thức của nó dương.

Kiến thức áp dụng

+ Nếu P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.

+ Kí hiệu: P ⇔ Q đọc là P tương đương với Q, hoặc P là điều kiện cần và đủ để có Q.

Bài 5 (trang 10 SGK Đại số 10): Dùng kí hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đề sau:

a) Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó.

b) Có một số cộng với chính nó bằng 0.

c) Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0.

Lời giải:

a) ∀ x ∈ R: x.1 = x

b) ∃ a ∈ R: a + a = 0

c) ∀ x ∈ R: x + (-x) = 0

Kiến thức áp dụng

+ ∀ : đọc là với mọi.

+ ∃ : đọc là tồn tại.

Bài 6 (trang 10 SGK Đại số 10): Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó.

a) ∀ x ∈ R : x² > 0 ;             b) ∃ n ∈ N : n² = n

c) ∀ n ∈ N; n ≤ 2n             d) ∃ x ∈ R : x < 1/x.

Lời giải:

a) Bình phương của mọi số thực đều dương.

– Mệnh đề này sai vì nếu x = 0 thì x² = 0.

Sửa cho đúng: ∀ x ∈ R : x² ≥ 0.

b) Tồn tại số tự nhiên mà bình phương của nó bằng chính nó.

– Mệnh đề này đúng. Ví dụ: n = 0; n = 1.

c) Mọi số tự nhiên đều nhỏ hơn hoặc bằng hai lần của nó.

– Mệnh đề này đúng.

d) Tồn tại số thực nhỏ hơn nghịch đảo của chính nó.

– Mệnh đề này đúng. Ví dụ 0,5 < 1/ 0,5.

Kiến thức áp dụng

+ ∀ : đọc là với mọi.

+ ∃ : đọc là tồn tại.

Bài 7 (trang 10 SGK Đại số 10): Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng, sai của nó:

a) ∀ n ∈ N: n chia hết cho n ;        b) ∃ x ∈ Q : x² = 2

c) ∀ x ∈ R : x < x + 1 ;        d) ∃ x ∈ R: 3x = x² + 1

Lời giải:

a) A: “∀ n ∈ N: n chia hết cho n”

A− : “∃ n ∈ N: n không chia hết cho n”.

A− đúng vì với n = 0 thì n không chia hết cho n.

b) B: “∃ x ∈ Q : x² = 2”.

B− : “∀ x ∈ Q : x² ≠ 2”

B− đúng.

Lưu ý: √2 là số vô tỷ.

c) C: “∀ x ∈ R : x < x + 1”.

C− : “∃ x ∈ R: x ≥ x + 1”.

C− sai vì x + 1 luôn lớn hơn x.

d) D: “∃ x ∈ R: 3x = x² + 1”

D− : “∀ x ∈ R ; 3x ≠ x² + 1”

D− sai vì với 

D− thỏa mãn:

Kiến thức áp dụng

+ Kí hiệu P− là mệnh đề phủ định của mệnh đề P.

+ Nếu A: “∀ x ∈ X, P(x)” thì A−: “∃ x ∈ X, ”

+ Nếu A: “∃ x ∈ X, Q(x)” thì A−: “∀ x ∈ X, ”.

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 10 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần hình học và đại số. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 10 khác nhau.

 

 

 

 

#soanbaitap