Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức - soanbaitap.com

1. Định nghĩa

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi √A là căn thức bậc hai của A, còn A là biểu thức lấy căn hay còn gọi là biểu thức dưới dấu căn.

2. Điều kiện có nghĩa(hay có nghĩa) của một căn thức bậc hai

√A xác định(có nghĩa) ⇔ A ≥ 0

3. Ví dụ cụ thể

- xác định ⇔ 3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

- xác định ⇔ 3 - 7x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3/7.

- xác định ⇔ 2 - 3x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2/3.

- xác định ⇔ x - 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 6.

- xác định.

Muốn khai căn một biểu thức, ta dùng hằng đẳng thức √(A²) = |A|.

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thứcvới a < 2

Giải:

Ví dụ 2: Tìm x biết

Giải:

1. Giá trị tuyệt đối

• Định nghĩa

• Hệ quả

|A| ≥ 0, ∀ A

|A| = |-A|

|A| = A ⇔ A ≥ 0; |A| = -A ⇔ A ≤ 0; |A| = 0 ⇔ A = 0

2. Dấu của một tích, một thương

DẠNG 1: Tìm điều kiện để một để một căn thức bậc hai xác định.

• √A xác định (hay có nghĩa) ⇔ A ≥ 0

• Giải bất phương trình A ≥ 0

• Kết luận.

DẠNG 2: Khai căn một biểu thức – Tính giá trị một biểu thức chứa căn

• Khai căn nhờ hằng đẳng thức √(A²) = |A|

• Rút gọn

DẠNG 3: Phân tích thành nhân tử

• Viết A ≥ 0 thành (√A)²

• Sử dụng A² - B² = (A - B)(A + B)

• Sử dụng A² ± 2AB + B² = (A ± B)²

• Thêm, bớt tạo thành hằng đẳng thức

DẠNG 4: Giải phương trình

• Khai căn một biểu thức

• Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:

Câu 2: Giải các phương trình sau

Câu 3: Cho biểu thức:

a) Tìm tập xác định của biểu thức.

b) Rút gọn biểu thức A.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 2 trang 8: Hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC = 5cm và cạnh BC = x (cm) thì cạnh AB = √(25- x² ) (cm). Vì sao ? (h.2).

Lời giải

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại B có:

AB² + BC² = AC² ⇔ AB² + x² = 5²

⇔ AB² = 25 - x²

⇒ AB = √(25 - x²) (do AB > 0)

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 2 trang 8: Với giá trị nào của x thì √(5-2x) xác định ?

Lời giải

√(5 - 2x) xác định khi 5 - 2x ≥ 0

⇔ -2x ≥ -5

⇔ x ≤ 5/2

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 2 trang 8: Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

a	-2	-1	0	2	3
a2
√(a2)

Lời giải

a	-2	-1	0	2	3
a2	4	1	0	4	9
√(a2)	2	1	0	2	3

 

 

Bài 6 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

Lời giải:

a)

b) Điều kiện -5a ≥ 0 => a ≤ 0

c) Điều kiện 4 – a ≥ 0 => -a ≥ -4 = > a ≤ 4

d) Điều kiện 3a + 7 ≥ 0 => 3a ≥ -7

Bài 7 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Tính:

Lời giải:

Bài 8 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

Lời giải:

(vì 2 - √3 > 0 do 2 = √4 mà √4 > √3)

(vì √11 - 3 > 0 do 3 = √9 mà √11 > √9)

c) 2√a² = 2|a| = 2a với a ≥ 0

(vì a < 2 nên 2 – a > 0)

Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x biết:

Lời giải:

a) √x² = 7 ⇔ |x| = 7

⇔ x₁ = 7 và x₂ = -7

b) √x² = |-8| ⇔ √x² = 8

⇔ |x| = 8 ⇔ x₁ = 8 và x₂ = -8

⇔ |x| = 3 ⇔ x₁ = 3 và x₂ = -3

⇔ |3x| = 12 ⇔ |x| = 4

⇔ x₁ = 4 và x₂ = -4

Bài 10 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Chứng minh:

Lời giải:

a) Ta có: VT = (√3 - 1)² = (√3)² - 2√3 + 1

= 3 - 2√3 + 1 = 4 - 2√3 = VP

Vậy (√3 - 1)² = 4 - 2√3 (đpcm)

b) Theo câu a) ta có:

= |√3 - 1| - √3 = √3 - 1 - √3

= -1 = VP (vì √3 - 1 > 0) (đpcm)

Bài 11 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Tính:

 

Lời giải:

= 4.5 + 14:7 = 20 + 2 = 22

= 36 : 18 – 13 = - 11

Bài 12 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

Lời giải:

2x + 7 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ -7

-3x + 4 ≥ 0 ⇔ -3x ≥ -4

Bài 13 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

Lời giải:

a) 2√a² - 5a = 2|a| - 5a

= -2a - 5a = -7a (do a < 0 nên |a| = -a)

b) √25a² + 3a = 5|a| + 3a = 5a + 3a = 8a

(do a ≥ 0 nên |a| = a)

c) √9a⁴ + 3a² = √(3a²)² + 3a²

= |3a²| + 3a² = 3a² + 3a² = 6a²

(do a² ≥ 0 với mọi a nên |3a²| = 3a²)

d) 5√4a⁶ - 3a³ = 5√(2a³)² - 3a³

= 5|2a³| - 3a³

Với a < 0 thì |2a³| = – 2a³ nên

5|2a³| - 3a³ = -10a³ - 3a³ = -13a³

Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Phân tích thành nhân tử:

a) x² – 3 ;                     b) x² – 6

c) x² + 2√3 x + 3 ;        d) x² - 2√5 x + 5

Hướng dẫn: Dùng kết quả:

Với a ≥ 0 thì a = (√a)²

Lời giải:

a) x² - 3 = x² - (√3)² = (x - √3)(x + √3)

b) x² - 6 = x² - (√6)² = (x - √6)(x + √6)

c) x² + 2√3 x + 3 = x² + 2√3 x + (√3)²

= (x + √3)²

d) x² - 2√5 x + 5 = x² - 2√5 x + (√5)²

= (x - √5)²

Bài 15 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Giải các phương trình sau:

a) x² – 5 = 0 ;             b) x² – 2√11 x + 11 = 0

Lời giải:

a) x² – 5 = 0 ⇔ x² = 5 ⇔ x₁ = √5; x₂ = -√5

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = √5; x₂ = -√5

Cách khác:

x² – 5 = 0 ⇔ x² – (√5)² = 0

⇔ (x - √5)(x + √5) = 0

hoặc x - √5 = 0 ⇔ x = √5

hoặc x + √5 = 0 ⇔ x = -√5

b) x² – 2√11 x + 11 = 0

⇔ x² – 2√11 x + (√11)² = 0

⇔ (x - √11)² = 0

⇔ x - √11 = 0 ⇔ x = √11

Vậy phương trình có một nghiệm là x = √11

Bài 16 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 1): Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh "Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây:

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có:

m² + V² = V² + m²

Cộng cả hai vế với -2Mv, ta có:

m² – 2mV + V² = V² – 2mV + m²

hay     (m - V)² = (V - m)².

Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:

√(m - V)² = √(V - m)²

Do đó     m – V = V – m

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Lời giải:

Sai lầm ở chỗ: sau khi lấy căn hai vế của (m – V)² = (V – m)² ta phải được kết quả |m – V| = |V – m| chứ không thể có m – V = V – m (theo hằng đẳng thức √A² = |A|.

Do đó, con muỗi không thể nặng bằng con voi.

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 9 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán hình 9 và Toán đại 9. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 9 khác nhau.

 

 

 

 

 

#soanbaitap