1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện
Góc đối diện với cạnh lớn hơn
Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Ví dụ: ΔABC, AC > AB ⇒ ∠B > ∠C
Cạnh đối diện với góc lớn hơn
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Ví dụ: ΔABC, ∠B > ∠C ⇒ AC > AB
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Khái niệm đường thẳng vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên
Từ điểm A không nằm trên đường thẳng thẳng d, kẻ một đường thẳng thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó:
- Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
- Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Ví dụ: AH ⊥ a ⇒ AH < AC, AH < AD
Các đường xiên và hình chiếu của chúng
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng thẳng đến đường thẳng thẳng đó:
- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
AH ⊥ a, HD > HC ⇒ AD > AC
- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
AH ⊥ a, AD > AC ⇒ HD > HC
- Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
AB = AC ⇔ HB = HC
3. Quan hệ ba cạnh của tam giác và bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Cho tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:
AB + AC > BC hay b + c > a
AB + BC > AC hay c + a > b
AC + BC > AB hay b + a > c
Hệ quả của bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
Nhận xét: Nếu xét đồng thời cả tổng và hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác thì quan hệ giữa các cạnh của nó còn được phát biểu như sau:
Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.
4. Tính chất đường trung tuyến của tam giác
- Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.
- Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
5. Tính chất đường phân giác của tam giác
Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. (Định lý thuận).
Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Tính chất 3 đường phân giác
Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Tam giác ABC có ba đường phân giác giao nhau tại I, khi đó:
6. Tính chất của đường trung trực trong tam giác
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó
Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
MA = MB ⇒ M thuộc đường trung trực của AB
Nhận xét: Từ hai định lý thuận và đảo, ta có: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Tính chất: Trong một tam giác cân, đường trug trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.
Tính chất 3 đường trung trực trong tam giác
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Điểm O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC, ta có OA = OB = OC
Chú ý: Vì giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C. Ta gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
7. Tính chất đường cao trong tam giác
Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Câu hỏi ôn tập:
Bài 1: Điểm E nằm trên tia phân giác góc A của tam giác ABC ta có
A. E nằm trên tia phân giác góc B
B. E cách đều hai cạnh AB, AC
C. E nằm trên tia phân giác góc C
D. EB = EC
Bài 2: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tại I. Khi đó
A. AI là trung tuyến vẽ từ A
B. AI là đường cao kẻ từ A
C. AI là trung trực cạnh BC
D. AI là phân giác góc A
Bài 3: Em hãy chọn câu đúng nhất
A. Ba tia phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm, điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác
B. Giao điểm ba đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác
C. Trong một tam giác, đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh đồng thời là đường phân giác ứng với cạnh đáy
D. Giao điểm ba đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó
Bài 4: Cho ΔABC có ∠A = 70°, các đường phân giác của BE và CD của ∠B và ∠C cắt nhau tại I. Tính ∠BIC ?
A. 125° B. 100° C. 105° D. 140°
Bài 5: Cho ΔABC, các tia phân giác góc B và A cắt nhau tại điểm O. Qua O kẻ đường thẳng song song BC cắt AB tại M , cắt AC tại N. Cho BM = 2cm, CN = 3cm. Tính MN ?
A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm
Bài 6: Cho ΔABC có ∠A = 90°, các tia phân giác của ∠B và ∠C cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh AB và AC. Khi đó ta có:
A. AI là đường cao của ΔABC
B. IA = IB = IC
C. AI là đường trung tuyến của ΔABC
D. ID = IE
Bài 7: Cho ΔABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác. Khi đó ta có
A. I cách đều ba đỉnh của ΔABC
B. A, I, G thẳng hàng
C. G cách đều ba cạnh của ΔABC
D. Cả 3 đáp án trên đều đúng
Bài 8: Cho ΔABC cân tại A, trung tuyến AM. Gọi D là một điểm nằm giữa A và M. Khi đó ΔBDC là tam giác gì?
A. Tam giác cân
B. Tam giác đều
C. Tam giác vuông
D. Tam giác vuông cân
Bài 9: Cho ΔABC có 
. Tia phân giác của góc B cắt AC tại E. Tia phân giác của góc BAH cắt BE ở I. Khi đó tam giác AIE là tam giác
A. Vuông cân tại I
B. Vuông cân tại E
C. Vuông cân tại A
D. Cân tại I
Bài 10: Cho ΔABC có ∠A = 120°. Các đường phân giác AD, BE . Tính số đo góc BED
A. 55° B. 45° C. 60° D. 30°
Bài 11: Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực trong ΔABC. Khi đó O là:
A. Điểm cách đều ba cạnh của ΔABC
B. Điểm cách đều ba đỉnh của ΔABC
C. Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
D. Đáp án B và C đúng
Bài 12: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?
A. Tam giác vuông
B. Tam giác cân
C. Tam giác đều
D. Tam giác vuông cân
Bài 13: Cho ΔABC cân tại A , có ∠A = 40°, đường trung trực của AB cắt BC tại D . Tính ∠CAD
A. 30° B. 45° C. 60° D. 40°
Bài 14: Cho ΔABC cân tại A. Đường trung trực của AC cắt AB ở D. Biết CD là tia phân giác của ∠ACB. Tính các góc của ΔABC
Bài 15: Cho ΔABC vuông tại A, có ∠C = 30°, đường trung trực của BC cắt AC tại M. Em hãy chọn câu đúng:
A. BM là đường trung tuyến của ΔABC
B. BM = AB
C. BM là phân giác của ∠ABC
D. BM là đường trung trực của ΔABC
Bài 16: Cho ΔABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em hãy chọn câu sai:
A. BM = MC
B. ME = MD
C. DM = MB
D. M không thuộc đường trung trực của DE
Bài 17: Cho ΔABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng
A. ΔABO = ΔCOE
B. ΔBOA = ΔCOE
C. ΔAOB = ΔCOE
D. ΔABO = ΔCEO
Bài 18: Cho ΔABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng
A. AO là đường trung tuyến của tam giác ABC
B. AO là đường trung trực của tam giác ABC
C. AO ⊥ BC
D. AO là tia phân giác của góc A
Bài 19: Cho ΔABC trong đó ∠A = 100°. Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC theo thứ tự tại E và F. Tính ∠EAF .
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
Bài 20: Cho ΔABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH. Kẻ KD ⊥ AC (D ∈ BC) . Chọn câu đúng
A. ΔAHD = ΔAKD
B. AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK
C. AD là tia phân giác của góc HAK
D. Cả A, B, C đều đúng
Bài 21: Cho ΔABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Em hãy chọn phát biểu đúng:
A. H là trọng tâm của ΔABC
B. H là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
C. CH là đường cao của ΔABC
D. CH là đường trung trực của ΔABC
Bài 22: Cho ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó
A. AM ⊥ BC
B. AM là đường trung trực của BC
C. AM là đường phân giác của góc BAC
D. Cả A, B, C đều đúng
Bài 23: Cho ΔABC cân tại A, trung tuyến AM. Biết BC = 24cm, AM = 5cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC
A. AB = AC = 13cm
B. AB = AC = 14cm
C. AB = AC = 15cm
D. AB = AC = 16cm
Bài 24: Đường cao của tam giác đều cạnh a có bình phương độ dài là
Bài 25: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng
A. AI > AK B. AI < AK C. AI = 2AK D. AI = AK
Bài 26: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. ΔAIK là tam giác gì?
A. ΔAIK là tam giác cân tại B
B. ΔAIK là tam giác vuông cân tại A
C. ΔAIK là tam giác vuông
D. ΔAIK là tam giác đều
Bài 27: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB. Tia AC cắt BD ở E. Tính số đo ∠AEB
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Bài 28: Cho ΔABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt tia BC tại M. Khi đó ΔMED là tam giác gì
A. Tam giác cân
B. Tam giác vuông cân
C. Tam giác vuông
D. Tam giác đều
Bài 29: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D. Biết ∠ACB = 50°, tính ∠HDK
A. 130° B. 50° C. 60° D. 90°
Bài 30: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D. Nếu DA = DB thì tam giác ABC là tam giác
A. Cân tại
B. Cân tại
C. Cân tại
D. Đều
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D nào đó khác điểm B và trên tia đối của tia CA người ta lấy điểm E sao cho CE = BD. Chứng minh BD nhỏ hơn DE.
Bài 2: Cho ΔABC có AC > AB, M là trung điểm của BC. Nối AM, trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA = MD. Nối BD. So sánh ∠BAM và ∠CAM
Bài 3: Cho ΔABC, kẻ AH ⊥ BC tại H, Chứng minh rằng:
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC . Trên cạnh huyền BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AH.
Chứng minh rằng DE ⊥ AC ⇒ BC + AH > AC + AB .
Bài 5: Hãy tìm độ dài các cạnh của một tam giác, biết cạnh thứ nhất gấp rưỡi cạnh thứ hai, cạnh thứ hai gấp rưỡi cạnh thứ ba và nửa chu vi tam giác bằng 9,5cm
Bài 6: Cho tam giác ABC có AC > AB. Nối A với trung điểm M của BC. Trên tia AM lấy điểm E sao cho M là trung điểm của đoạn AE. Nối C với E.
a) So sánh hai đoạn thẳng AB và CE.
b) Chứng minh:
Bài 7: Cho hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O. Trên tia Ox lấy hai điểm A, B sao cho A nằm giữa O và B, AB = 2OA. Trên yy' lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của LM. Nối B với L, B với M và gọi P là trung điểm của đoạn MB, Q là trung điểm của đoạn LB. Chứng minh rằng các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.
Bài 8: Cho ΔABC, BC = a, CA = b, AB = c. Kẻ trung tuyến AM. Đặt AM = ma. Chứng minh rằng
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao BH và CI cắt nhau tại I. Chứng minh AI là đường cao của tam giác ABC
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng ở nửa mặt phẳng bờ BC, không chứa A, tam giác vuông cân CDB tại D. Chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC
Bài 11: Hai đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng
Bài 12: Cho ΔABC Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác góc A và góc B. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB tại M, cắt AC tại N. Chứng minh rằng MN = BM + CN
Bài 13: Cho đoạn thẳng AB thuộc nửa mặt phẳng bờ d. Xác định điểm M thuộc d sao cho M cách đều hai điểm A, B.
Bài 14: : Cho tam giác ABC có AC > AB, phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE.
Bài 15: Cho tam giác ABC có đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của đường phân giác của tam giác ABK trùng với giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Tìm số đo các góc của tam giác ABC.
Bài 16: Trên ba cạnh AB, BC và CA của tam giác đều ABC, lấy các điểm theo thứ tự M, N, P sao cho AM = BN = CP. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh O cũng là gia điểm của ba đường trung trực của tam giác MNP.
Bài 17: Cho hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O. Trên Ox, Ox' lần lượt lấy các điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD
Chứng minh M, O, N thẳng hàng
Bài 18: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng song song với đáy BC. Các đường phân giác của góc B và góc C lần lượt cắt d tại E và F. Chứng minh rằng:
a) d là phân giác ngoài của góc A
b) AE = AF
1. Cho tam giác ABC. Hãy viết kết luận của hai bài toán sau về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
Trả lời
2. Từ điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH, các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d. Hãy điền dấu (>, <) vào các chỗ trống (...) dưới đây cho đúng:
a) AB ... AH; AC ... AH.
b) Nếu HB ... HC thì AB ... AC.
c) Nếu AB ... AC thì HB ... HC.
Trả lời
a) AB > AH; AC > AH.
b) Nếu HB > HC thì AB > AC.
hoặc có thể HB < HC thì AB < AC.
c) Nếu AB > AC thì HB > HC.
hoặc có thể AB < AC thì HB < HC.
3. Cho tam giác DEF. Hãy viết bất đẳng thức về quan hệ giữa các cạnh của tam giác này.
Trả lời
Với ΔDEF ta có các bất đẳng thức và quan hệ giữa các cạnh là:
DE < EF + DF
DF < EF + DE
EF < DE + DF
DF - EF < DE < DF + EF (với DF > EF)
4. Hãy ghép hai ý ở hai cột để được khẳng định đúng: ...
Trả lời
Ghép a-d' ; b –a', c-b', d-c'
Trong một tam giác
a - d' đường phân giác xuất phát từ đỉnh A - là đoạn thẳng có hai mút là đỉnh A và giao điểm của cạnh BC với tia phân giác của góc A.
b - a' đường trung trực ứng với cạnh BC - là đường vuông góc với cạnh BC tại trung điểm của nó.
c - b' đường cao xuất phát từ đỉnh A - là đoạn vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC.
d - c' đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A - là đoạn thẳng nối A với trung điểm của cạnh BC.
5. Cũng với yêu cầu như ở câu 4. ...
Trả lời
Ghép a-b', b-a', c-d', d-c'
Trong một tam giác
a - b' trọng tâm - là điểm chung của ba đường trung tuyến
b - a' trực tâm - là điểm chung của ba đường cao
c - d' điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh - là điểm chung của ba đường phân giác
d - c' điểm cách đều ba đỉnh - là điểm chung của ba đường trung trực
6. a) Hãy nêu tính chất trọng tâm của một tam giác; các cách xác định trọng tâm.
b) Bạn Nam nói: "Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác". Bạn Nam nói đúng hay sai? Tại sao?
Trả lời
a) - Trọng tâm của một tam giác có tính chất như sau:
"Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó."
- Các cách xác định trọng tâm:
+ Cách 1: Vẽ hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh tùy ý, rồi xác định giao điểm của hai đường trung tuyến đó.
+ Cách 2: Vẽ một đường trung tuyến của tam giác. Chia độ dài đường trung tuyến thành ba phần bằng nhau rồi xác định một điểm cách đỉnh hai phần bằng nhau.
b) Không thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác vì đường trung tuyến qua một đỉnh của tam giác và trung điểm một cạnh trong tam giác nên đường trung tuyến phải nằm giữa hai cạnh của một tam giác tức nằm ở bên trong của một tam giác nên ba đường trung tuyến cắt nhau chỉ có thể nằm bên trong của tam giác.
7. Những tam giác có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao?
Trả lời
Tam giác có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao là tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.
8. Những tam giác nào có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh?
Trả lời
Tam giác có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh là tam giác đều.
Bài 63 (trang 87 SGK Toán 7 tập 2): Cho tam giác ABC với AC < AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC. Vẽ các đonạ thẳng AD, AE.
a) Hãy so sánh góc ADC và góc AEB.
b) Hãy so sánh các đoạn thẳng AD và AE.
Lời giải:
b) ΔAED có:
⇒ AE < AD hay AD > AE
Kiến thức áp dụng
+ Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Bài 64 (trang 87 SGK Toán 7 tập 2): Gọi MH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh rằng:
(yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc N nhọn và khi góc N tù).
Lời giải:
+ So sánh NH và PH
MH là đường cao của ΔMNP ⇒ H là hình chiếu của M trên đường thẳng NP.
⇒ NH là hình chiếu của đường xiên NM trên đường thẳng NP
PH là hình chiếu của đường xiên MP trên đường thẳng NP.
Mà NM < PM ⇒ NH < PH (đường xiên nào lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn).
• TH1: Xét ΔMNP có góc N nhọn
⇒ góc P nhọn (vì MN < MP nên 
).
⇒ H nằm giữa N và P.
• TH2: Xét ΔMNP có góc N tù
suy ra H nằm ngoài cạnh NP.
(vì giả sử H nằm giữa N và P thì ΔMNH có 
Lại có HN < HP nên N nằm giữa H và P
⇒ Tia MN ở giữa hai tia MH và MP ⇒ 
Kiến thức áp dụng
+ Gọi BH, CH lần lượt là hình chiếu của các đường xiên BA, CA trên đường thẳng d:
BA > CA ⇔ BH > CH.
+ Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Bài 65 (trang 87 SGK Toán 7 tập 2): Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau: 1cm, 2cm, 3cm, 4cm và 5cm?
Lời giải:
Trong một tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại.
Vậy nên với năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm ta dựng được tam giác với ba cạnh là các đoạn thẳng có độ dài là:
+ Bộ ba 2cm, 3cm, 4cm (3-2 < 4 < 3+2)
Dựng đoạn thẳng bằng 4cm.
Từ hai đầu đoạn thẳng dựng các cung tròn bán kính lần lượt 2cm và 3cm.
Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm thứ 3.
Nối các điểm ta được tam giác cần dựng.
+ Bộ ba 3cm, 4cm, 5cm (4-3 < 5 < 4+3)
Dựng đoạn thẳng bằng 4cm.
Dựng đoạn thẳng bằng 5cm.
Từ hai đầu đoạn thẳng dựng các cung tròn bán kính lần lượt 3cm và 4cm.
Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm thứ 3.
Nối các điểm ta được tam giác cần dựng.
+ Bộ ba 2cm, 4cm, 5cm (4-2 < 5 < 4+2)
Dựng đoạn thẳng bằng 4cm.
Dựng đoạn thẳng bằng 5cm.
Từ hai đầu đoạn thẳng dựng các cung tròn bán kính lần lượt 2cm và 4cm.
Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm thứ 3.
Nối các điểm ta được tam giác cần dựng.
Vậy ta dựng được tất cả 3 tam giác.
Kiến thức áp dụng
+ Trong một tam giác, độ dài mỗi cạnh lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại.
+ Tuy nhiên, để kiểm tra một bộ ba độ dài có thể là ba cạnh của một tam giác hay không ta chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng hoặc hiệu của độ dài hai đoạn còn lại.
Bài 66 (trang 87 SGK Toán 7 tập 2): Đố: Bốn điểm dân cư được xây dựng như hình 58. Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sao cho tổng khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất.
Hình 58
Lời giải:
Gọi O là địa điểm đặt nhà máy (O tùy ý)
A, B, C, D lần lượt là bốn điểm dân cư (A,B, C, D cố định).
Ta luôn có:
OA + OC ≥ AC
OB + OD ≥ BD
⇒ OA + OB + OC + OD ≥ AC + BD (AC + BD là hằng số)
Vậy để OA + OB + OC + OD nhỏ nhất thì OA + OC = AC và OB + OD = BD.
OA + OC = AC khi O thuộc đoạn AC.
OB + OD = BD khi O thuộc đoạn BD.
Vậy OA + OB + OC + OD nhỏ nhất khi O là giao điểm của hai đoạn AC và BD.
Kiến thức áp dụng
Với hai điểm A, B cố định, với mọi điểm O ta luôn có OA + OB ≥ AB và OA + OB = AB khi O thuộc đoạn thẳng AB.
Bài 67 (trang 87 SGK Toán 7 tập 2): Cho tam giác MNP với trung tuyến MR và trọng tâm Q.
a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ.
b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ.
c) So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ.
Từ kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích.
Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.
Lời giải:
a) Δ MPQ và Δ RPQ có cùng đường cao.
Q là trọng tâm của ∆MNP ⟹ Q thuộc đường trung tuyến MR và 
Gọi độ dài đường vuông góc kẻ từ P đến MR là h. Khi đó:
b) Δ MNQ và Δ RNQ có cùng đường cao.
Chứng minh tương tự câu a ta có:
(k là độ dài đường vuông góc kẻ từ N đến MR)
c) Δ RPQ và Δ RNQ có cùng đường cao.
Gọi m là độ dài đường vuông góc kẻ từ Q đến NP.
Kiến thức áp dụng
+ Trong một tam giác, ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm. Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đó. 
AG = 2/3. AD, GD = 1/3.AD, AG = 2.AD.
+ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
Bài 68 (trang 88 SGK Toán 7 tập 2): Cho góc xOy. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai cạnh Ox, Oy.
a) Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh góc xOy và cách đều hai điểm A, B.
b) Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a?
Lời giải:
a) Tìm M khi độ dài đoạn OA, OB là bất kì
- Vì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy (1).
- Vì M cách đều hai điểm A, B nên M nằm trên đường trung trực của đoạn AB (2).
Từ (1) và (2) ta xác định được điểm M là giao điểm của đường phân giác Oz của góc xOy và đường trung trực của đoạn AB.
b) Tìm M khi OA = OB
Nếu OA = OB thì ∆AOB cân tại O nên tia phân giác góc xOy cũng là trung trực của AB.
Do đó mọi điểm trên tia phân giác góc xOy sẽ cách đều hai cạnh Ox, Oy và cách đều hai điểm A và B.
Vậy khi OA = OB thì có vô số điểm M thỏa mãn các điều kiện ở câu a.
Kiến thức áp dụng
+ Mọi điểm nằm trên đường phân giác của một góc đều cách đều hai cạnh của góc đó.
+ Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Bài 69 (trang 88 SGK Toán 7 tập 2): Cho hai đường thẳng phân biệt không song song a và b, điểm M nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại P, cắt b tại Q và đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại S. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b.
Lời giải:
Gọi A là giao điểm của a và b.
Theo giả thiết c ⟘ a hay SR ⟘ AQ hay SR là đường cao của ΔASQ.
d ⟘ b hay PQ ⟘ AS hay QP là đường cao của ΔASQ.
SR cắt QP tại M ⇒ M là trực tâm của ΔASQ
⇒ AM ⟘ SQ
Vậy đường thẳng đi qua M và vuông góc với SQ cũng đi qua A (đpcm).
Bài 70 (trang 88 SGK Toán 7 tập 2): Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
a) Ta kí hiệu PA là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A (không kể đường thẳng d). Gọi là một điểm của PA và M là giao điểm của đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA; từ đó suy ra NA < NB.
b) Ta kí hiệu PB là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm B (không kể d). Gọi N' là một điểm của PB. Chứng minh N'B < N'A.
c) Gọi L là một điểm sao cho LA < LB. Hỏi điểm L nằm ở đâu, trong PA, PB hay trên d?
Lời giải:
a) Vì M nằm trên d, d là trung trực của AB nên MA = MB (1)
Vì N ∈ PA nên N và B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng d.
⇒ M nằm giữa N và B ⇒ NM + MB = NB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ NB = MA + NM.
Trong ∆NMA có : MA + NM > NA (bất đẳng thức tam giác).
⇒ NB > NA.
b) Gọi AN’ cắt d tại K.
K thuộc đường trung trực của AB nên KA = KB.
Trong tam giác N’KB có: N’B < KN’ + KB (bất đẳng thức tam giác).
⇒ N’B < KN’ + KA (vì KA = KB) hay N’B < N’A.
c) Vì LA < LB nên L không thuộc d
Theo chứng minh câu b suy ra L không thuộc PB (vì nếu L thuộc PB thì LA > LB).
Vậy L thuộc PA.
Kiến thức áp dụng
Dựa vào định lí về tính chất các điểm thuộc tia phân giác
Dựa vào định lí về bất đẳng thức trong tam giác.
Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 7 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán Đại 7 và Toán Hình 7. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 7 khác nhau
#soanbaitap
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét