Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - soanbaitap.com

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: b² = a.b'; c² = a.c'

2. Một số hệ thức liên quan đến đường cao

a) Định lý 1

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: h² = b'.c'.

b) Định lý 2

Trong một tam giác vuông, tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với đường cao tương ứng

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: a.h = b.c

c) Định lý 3

Trong tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có:

3. Ví dụ cụ thể

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AB + AC = 21cm.

a) Tính các cạnh của tam giác ABC.

b) Tính độ dài các đoạn AH, BH, CH.

Hướng dẫn:

a) Theo giả thiết: AB:AC = 3:4, suy ra

Do đó AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12 (cm).

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 225, suy ra BC = 15cm

b) Tam giác ABC vuông tại A, ta có AH.BC = AB.AC, suy ra

AH² = BH.HC. Đặt BH = x (0 < x < 9) thì HC = 15 - x, ta có:

(7,2)² = x(15 - x) ⇔ x² - 15x + 51,84 = 0 ⇔ x(x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = 0 ⇔ (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 ⇔ x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)

Vậy BH = 5,4cm. Từ đó HC = BC - BH = 9,6 (cm).

Chú ý: Có thể tính BH như sau:

AB² = BH.BC suy ra

Câu 1: Cho tam giác cân ABC có đáy BC = 2a , cạnh bên bằng b (b > a) .

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Dựng BK ⊥ AC . Tính tỷ số .

Bài 1 (trang 68 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.4a, b)

Hình 4

Lời giải:

- Hình a

Theo định lí Pitago ta có:

Áp dụng định lí 1 ta có:

- Hình b

Áp dụng định lí 1 ta có:

=> y = 20 - 7,2 = 12,8

Bài 2 (trang 68 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.5)

Hình 5

Lời giải:

Áp dụng định lí 1 ta có:

Bài 3 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.6)

Hình 6

Lời giải:

Áp dụng định lí Pitago ta có:

Áp dụng định lí 3 ta có:

Bài 4 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.7)

Hình 7

Lời giải:

Theo định lí 2 ta có:

2² = 1.x => x = 4

Theo định lí 1 ta có:

y² = x(1 + x) = 4(1 + 4) = 20

=> y = √20 = 2√5

Bài 5 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Lời giải:

ΔABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 và đường cao AH như trên hình.

Theo định lí Pitago ta có:

Mặt khác, AB² = BH.BC (định lí 1)

Theo định lí 3 ta có: AH.BC = AB.AC

Bài 6 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Lời giải:

ΔABC vuông tại A và đường cao AH như trên hình.

BC = BH + HC = 1 + 2 = 3

Theo định lí 1: AB² = BH.BC = 1.3 = 3

=> AB = √3

Theo định lí 1: AC² = HC.BC = 2.3 = 6

=> AC = √6

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là √3 và √6.

Bài 6 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Lời giải:

ΔABC vuông tại A và đường cao AH như trên hình.

BC = BH + HC = 1 + 2 = 3

Theo định lí 1: AB² = BH.BC = 1.3 = 3

=> AB = √3

Theo định lí 1: AC² = HC.BC = 2.3 = 6

=> AC = √6

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là √3 và √6.

Bài 8 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x và y trong mỗi hình sau:

Lời giải:

a) Theo định lí 2 ta có:

x² = 4.9 = 36 => x = 6

b) Vì đường cao chia cạnh huyền thành hai nửa bằng nhau nên nó đồng thời là đường trung tuyến. Mà trong tam giác vuông, đường tuyến bằng nửa cạnh huyền nên nên x = 2.

Theo định lí Pitago ta có:

 

Bài 9 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL là một tam giác cân

b) Tổng

không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông ADI và CDL có:

AD = CD (cạnh hình vuông)

Nên ΔADI = ΔCDL (cạnh góc cuông và góc nhọn)

Suy ra DI = DL hay ΔDIL cân. (đpcm)

b) Trong tam giác DKL vuông tại D với đường cao DC. Theo định lí 4, ta có:

không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. (đpcm)

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 9 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán hình 9 và Toán đại 9. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 9 khác nhau.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#soanbaitap