Diện tích tam giác - soanbaitap.com

1. Định lý

Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.

Ta có: S = 1/2b.h.

Ví dụ: Cho tam giác Δ ABC có độ dài đường cao h = 4 cm, đáy BC = 5 cm. Tính diện tích Δ ABC ?

Hướng dẫn:

Diện tích của tam giác Δ ABC là S_ABC = 1/2BC.h = 1/24.5 = 10 ( cm² ).

2. Hệ quả

Nếu Δ ABC vuông (áp dụng với hình bên trên) thì diện tích của tam giác bằng một nửa của tích hai cạnh góc vuông.

Tổng quát : S = 1/2a.c (áp dụng với kí hiệu ở hình trên).

Ví dụ: Cho Δ ABC vuông tại A có cạnh AB = 3 cm;AC = 4 cm. Tính diện tích của tam giác Δ ABC ?

Hướng dẫn:

Diện tích của tam giác ABC là S_ABC = 1/2AB.AC = 1/2.3.4 = 6( cm² )

Bài 1: Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh đáy là a, cạnh bên bằng b. Từ đó hãy tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a.

Hướng dẫn:

Xét Δ ABC cân tại A có AB = AC = b, BC = a.

Từ A kẻ AH ⊥ BC.

Ta có BH = HC = 1/2BC = a/2

Khi đó ta có: S_ABC = 1/2AH.BC = 1/2.a.AH

Áp dụng định lý Py – to – go ta có:

AC² = AH² + HC² ⇒ AH = √ (AC² - HC²) .

Khi đó S_ABC = 1/2AH.BC

Do đó diện tích của tam giác đều các cạnh bằng a là

Bài 2: Cho Δ ABC cân tại A có BC = 30( cm ), đường cao AH = 20 ( cm ). Tính đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân đó.

Hướng dẫn:

Xét Δ ABC cân tại A có BC = 30( cm )

⇒ BH = CH = 15( cm ).

Áp dụng đinh lý Py – ta – go ta có:

AB = √ (AH² + HB²) = √ (20² + 15²) = 25( cm )

Kẻ BK ⊥ AC, giờ ta phải tính BK = ?

Ta có : S_ABC = 1/2AH.BC = 1/2.20.30 = 300 ( cm² )

Mặt khác S_ABC = 1/2BK.AC = 1/2.BK.25

Do đó, ta có 1/2BK.25 = 300 ⇔ BK = (2.300)/25 = 24( cm ).

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 3 trang 121: Hãy cắt một tam giác thành ba mảnh để ghép lại thành một hình chữ nhật.

Lời giải

Bài 16 (trang 121 SGK Toán 8 Tập 1): Giải thích vì sao diện tích của tam giác được tô đậm trong hình 128, 129, 130 bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng.

Lời giải:

Trong mỗi hình trên ta đều có:

Diện tích hình chữ nhật là: a.h

Diện tích tam giác là: 

⇒ Diện tích của tam giác bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng.

Kiến thức áp dụng

Diện tích tam giác bằng một nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó.

Bài 17 (trang 121 SGK Toán 8 Tập 1): Cho tam giác AOB vuông tại O với đường cao OM (h.131). Hãy giải thích vì sao ta có đẳng thức AB.OM = OA.OB

Lời giải:

Ta có cách tính diện tích ΔAOB với đường cao OM và cạnh đáy AB:

Ta lại có cách tính diện tích ΔAOB vuông với hai cạnh góc vuông OA, OB là:

Kiến thức áp dụng

Diện tích tam giác bằng một nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó.

Bài 18 (trang 121 SGK Toán 8 Tập 1): Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM (h.132). Chứng minh: S_AMB = S_AMC

Lời giải:

Kẻ đường cao AH.

Ta có:

Mà BM = CM (vì AM là trung tuyến)

⇒ S_AMB = S_AMC (đpcm).

Kiến thức áp dụng

Diện tích tam giác bằng một nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó.

Bài 19 (trang 122 SGK Toán 8 Tập 1): a) Xem hình 133. Hãy chỉ ra các tam giác có cùng diện tích (lấy ô vuông làm đơn vị diện tích)

b) Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì có bằng nhau hay không?

Lời giải:

a) Các tam giác số 1, 3, 6 có cùng diện tích là 4 ô vuông

Các tam giác số 2, 8 có cùng diện tích là 3 ô vuông.

Các tam giác số 4, 5, 7 không có cùng diện tích với các tam giác nào khác (diện tích tam giác số 4 là 5 ô vuông, tam giác số 5 là 4, 5 ô vuông, tam giác số 7 là 3,5 ô vuông).

b) Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì không nhất thiết bằng nhau.

Vì diện tích của tam giác là nửa tích của độ dài đáy với chiều cao tương ứng của đáy, nên chỉ cần tích của đáy với chiều cao bằng nhau thì hai tam giác đó có diện tích bằng nhau, hai cạnh còn lại có thể khác nhau.

- Ví dụ như các tam giác 1, 3, 6 có cùng diện tích nhưng không bằng nhau.

Kiến thức áp dụng

Diện tích tam giác bằng một nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó.

Bài 20 (trang 122 SGK Toán 8 Tập 1): Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng cạnh của một tam giác cho trước và có diện tích bằng diện tích của tam giác đó. Từ đó suy ra một cách chứng minh khác về công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải:

Cho ΔABC với đường cao AH.

Gọi M, N, I là trung điểm của AB, AC, AH.

Lấy E đối xứng với I qua M, D đối xứng với I qua N.

⇒ Hình chữ nhật BEDC là hình cần dựng.

Thật vậy:

Ta có ΔEBM = ΔIAM và ΔDCN = ΔIAN

⇒ S_EBM = S_AMI và S_CND = S_AIN

⇒ S_ABC = S_AMI + S_AIN + S_BMNC = S_EBM + S_BMNC + S_CND = S_BCDE.

Suy ra S_ABC = S_BCDE = BE.BC = 1/2.AH.BC. (Vì BE = IA = AH/2).

Ta đã tìm lại công thức tính diện tích tam giác bằng một phương pháp khác

Kiến thức áp dụng

+ Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.

+ Diện tích hình chữ nhật bẳng tích của chiều dài và chiều rộng

+ Nếu 1 đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.

Bài 21 (trang 122 SGK Toán 8 Tập 1): Tính x sao cho diện tích hình chữ nhật. ABCD gấp ba lần diện tích tam giác ADE (h.134).

Lời giải:

Ta có AD = BC = 5cm

Diện tích ΔADE: 

Diện tích hình chữ nhật ABCD: S_ABCD = 5x

Theo đề bài ta có S_ABCD = 3S_ADE ⇔ 5x = 3.5 ⇔ x = 3.

Vậy x = 3cm

Kiến thức áp dụng

+ Diện tích tam giác bằng một nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó.

+ Diện tích hình chữ nhật bằng tích của chiều dài và chiều rộng.

Bài 22 (trang 122 SGK Toán 8 Tập 1): Tam giác PAF được vẽ trên giấy kẻ ô vuông (h.135). Hãy chỉ ra:

a) Một điểm I sao cho S_PIF = S_PAF

b) Một điểm O sao cho S_POF = 2.S_PAF

c) Một điểm N sao cho 

Phân tích đề:

Cả 3 phần a, b, c đều liên quan đến so sánh diện tích một tam giác với S_PAF. Mà diện tích một tam giác = nửa tích của chiều cao nhân với một cạnh tương ứng, mà trong bài này đều có chung cạnh tương ứng là PF nên việc giải bài toán chỉ cần xác định các điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến PF thỏa mãn yêu cầu đề bài là được.

Lời giải:

Gọi AH là chiều cao của tam giác APF.

Ta có: S_APF = AH.PF/2.

a) S_PIF = S_PAF

⇔ chiều cao IK = AH (Chung cạnh đáy PF).

⇔ I nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF 1 khoảng bằng AH.

b) S_POF = 2.S_PAF

⇔ chiều cao OM = 2.AH

⇔ O nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF một khoảng bằng 2.AH

c) 

⇔ chiều cao NQ = AH/2

⇔ N nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF một khoảng bằng AH/2.

Bài 23 (trang 123 SGK Toán 8 Tập 1): Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra một số vị trí của điểm M nằm trong tam giác đó sao cho: S_AMB + S_BMC = S_MAC

Lời giải:

Kẻ đường cao BH, MK.

Ta có: S_AMB + S_BMC + S_MAC = S_ABC (1)

Mà S_AMB + S_BMC = S_MAC (2)

Do đó, M nằm trong ΔABC, nằm trên đường thẳng d bờ AC chứa B sao cho khoảng cách từ M đến AC = 1/2 đường cao BH.

Suy ra điểm M nằm trong ΔABC nằm trên đường trung bình của ΔABC.

Kiến thức áp dụng

+ Diện tích tam giác bằng một nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó.

+ Nếu 1 đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.

Bài 24 (trang 123 SGK Toán 8 Tập 1): Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b.

Lời giải:

Gọi h là chiều cao của tam giác cân.

Theo định lí Pitago ta có:

Kiến thức áp dụng

Diện tích tam giác bằng một nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó.

Bài 25 (trang 123 SGK Toán 8 Tập 1): Tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a.

Lời giải:

Xét tam giác đều ABC cạnh a. Dựng đường cao AH.

Trong tam giác vuông, đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm BC.

=> BH = CH = 

Áp dụng định lí Py- ta- go vào tam giác vuông AHB ta được:

Kiến thức áp dụng

Diện tích tam giác bằng một nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó.

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 8 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán Đại 8 và Toán Hình 8. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 8 khác nhau

 

 

 

 

#soanbaitap