Hệ thức Vi-ét và ứng dụng - soanbaitap.com

1. Hệ thức vi – ét

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạng:

Khi đó nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:

2. Ứng dụng của định lý Vi – ét

a) Tính nhẩm nghiệm

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm còn lại là x₂ = c/a

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1 và nghiệm còn lại là x₂ = -c/a

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.

+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x² - Sx + P = 0

+ Điều kiện để có hai số đó là S² - 4P ≥ 0

3. Ví dụ cụ thể

Câu 1: Cho phương trình x² - 3x + 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = 2(x₁ + x₂) - x₁.x₂

Hướng dẫn:

Ta có: Δ = (-3)² - 4.1.2 = 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:

Khi đó P = 2(x₁ + x₂) - x₁.x₂ = 2.3 - 2 = 4. Vậy P = 4

Câu 2: Tìm hai số khi biết tổng hai số đó là S = 5 và tích của hai số đó là P = 6 ?

Hướng dẫn:

Gọi x₁, x₂ là hai số cần tìm, khi đó x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² - 5x + 6 = 0

Ta có Δ = (-5)² - 4.1.6 = 25 - 24 = 1 > 0

Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

Vậy hai số cần tìm là 3 và 2.

Câu 1: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 6.

Câu 2: Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 11 và tích của chúng bằng 60.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 50: Hãy tính x₁ + x₂, x₁x₂.

Lời giải

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 51: Cho phương trình 2x² – 5x + 3 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.

b) Chứng tỏ rằng x₁ = 1 là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm x₂.

Lời giải

a) a = 2; b = -5; c = 3

⇒ a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0

b) Thay x = 1 vào phương trình ta được:

2.1² - 5.1 + 3 = 0

Vậy x = 1 là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có:

x₁.x₂ = c/a = 3/2 ⇒ x₂ = 3/2

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 51: Cho phương trình 3x² + 7x + 4 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.

b) Chứng tỏ rằng x₁ = -1 là một nghiệm của phương trình.

c) Tìm nghiệm x₂.

Lời giải

a) a = 3; b = 7; c = 4

⇒ a + b + c = 3 - 7 + 4 = 0

b) Thay x = -1 vào phương trình ta được:

3.(-1)² + 7.(-1) + 4 = 0

Vậy x = - 1 là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có:

x₁.x₂ = c/a = 4/3 ⇒ x₂ = 4/3:(-1) = -4/3

Bài 25 (trang 52 SGK Toán 9 Tập 2): Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x₁ và x₂ là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...):

a) 2x² – 17x + 1 = 0;

Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

b) 5x² – x – 35 = 0;

Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

c) 8x² – x + 1 = 0 ;

Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

d) 25x² + 10x + 1 = 0 ;

Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

Lời giải

a) 2x² – 17x + 1 = 0

Có a = 2; b = -17; c = 1

Δ = b² – 4ac = (-17)² – 4.2.1 = 281 > 0.

Theo hệ thức Vi-et: phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn:

x₁ + x₂ = -b/a = 17/2

x₁.x₂ = c/a = 1/2.

b) 5x² – x – 35 = 0

Có a = 5 ; b = -1 ; c = -35 ;

Δ = b² – 4ac = (-1)² – 4.5.(-35) = 701 > 0

Theo hệ thức Vi-et, phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn:

x₁ + x₂ = -b/a = 1/5

x₁.x₂ = c/a = -35/5 = -7.

c) 8x² – x + 1 = 0

Có a = 8 ; b = -1 ; c = 1

Δ = b² – 4ac = (-1)² – 4.8.1 = -31 < 0

Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại x₁ ; x₂.

d) 25x² + 10x + 1 = 0

Có a = 25 ; b = 10 ; c = 1

Δ = b² – 4ac = 10² – 4.25.1 = 0

Khi đó theo hệ thức Vi-et có:

x₁ + x₂ = -b/a = -10/25 = -2/5

x₁.x₂ = c/a = 1/25.

Kiến thức áp dụng

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, có Δ = b² – 4ac.

Khi Δ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-et:

Lưu ý: Trước khi áp dụng hệ thức Vi-et, bắt buộc phải kiểm tra Δ xem phương trình có nghiệm hay không.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 52: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) -5x² + 3x + 2 = 0;

b) 2004x² + 2005x + 1 = 0.

Lời giải

a) -5x² + 3x + 2 = 0;

Nhận thấy phương trình có a + b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm

x₁ = 1; x₂ = c/a = (-2)/5

b) 2004x² + 2005x + 1 = 0

Nhận thấy phương trình có a - b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm

x₁ = -1; x₂ = -c/a = (-1)/2004

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 52: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.

Lời giải

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² - x + 5 = 0

Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4.1.5 = -19 < 0

⇒ phương trình vô nghiêm

Vậy không tồn tại 2 số có tổng bằng 1 và tích bằng 5

Bài 26 (trang 53 SGK Toán 9 Tập 2): Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 35x² – 37x + 2 = 0;

b) 7x² + 500x – 507 = 0;

c) x² – 49x – 50 = 0;

d) 4321x² + 21x – 4300 = 0.

Lời giải

a) Phương trình 35x² – 37x + 2 = 0

Có a = 35; b = -37; c = 2 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = c/a = 2/35.

b) Phương trình 7x² + 500x – 507 = 0

Có a = 7; b = 500; c = -507 ⇒ a + b + c = 7 + 500 – 507 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = c/a = -507/7.

c) Phương trình x² – 49x – 50 = 0

Có a = 1; b = -49; c = -50 ⇒ a – b + c = 1 – (-49) – 50 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = -1; x₂ = -c/a = 50.

d) Phương trình 4321x² + 21x – 4300 = 0

Có a = 4321; b = 21; c = -4300 ⇒ a – b + c = 4321 – 21 – 4300 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = -1; x₂ = -c/a = 4300/4321.

Kiến thức áp dụng

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x₁ = 1; nghiệm còn lại x₂ = c/a.

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x₁ = -1; nghiệm còn lại x₂ = -c/a.

Bài 27 (trang 53 SGK Toán 9 Tập 2): Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

a) x² – 7x + 12 = 0;

b) x² + 7x + 12 = 0.

Lời giải

a) x² – 7x + 12 = 0

Có a = 1; b = -7; c = 12

⇒ Δ = b² – 4ac = (-7)² – 4.1.12 = 1 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn:

Vậy dễ dàng nhận thấy phương trình có hai nghiệm là 3 và 4.

b) x² + 7x + 12 = 0

Có a = 1; b = 7; c = 12

⇒ Δ = b² – 4ac = 7² – 4.1.12 = 1 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn:

Vậy dễ dàng nhận thấy phương trình có hai nghiệm là -3 và -4.

Kiến thức áp dụng

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, có Δ = b² – 4ac.

Khi Δ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-et:

Lưu ý: Trước khi áp dụng hệ thức Vi-et, bắt buộc phải kiểm tra Δ xem phương trình có nghiệm hay không.

Bài 28 (trang 53 SGK Toán 9 Tập 2): Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 32 , uv = 231

b) u + v = -8, uv = -105

c) u + v = 2, uv = 9

Lời giải

a) S = 32; P = 231 ⇒ S² – 4P = 32² – 4.231 = 100 > 0

⇒ Tồn tại u và v là hai nghiệm của phương trình: x² – 32x + 231 = 0.

Ta có: Δ = (-32)² – 4.231 = 100 > 0

⇒ PT có hai nghiệm:

Vậy u = 21 ; v = 11 hoặc u = 11 ; v = 21.

b) S = -8; P = -105 ⇒ S² – 4P = (-8)² – 4.(-105) = 484 > 0

⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: x² + 8x – 105 = 0

Ta có: Δ’ = 4² – 1.(-105) = 121 > 0

Phương trình có hai nghiệm:

Vậy u = 7 ; v = -15 hoặc u = -15 ; v = 7.

c) S = 2 ; P = 9 ⇒ S² – 4P = 2² – 4.9 = -32 < 0

⇒ Không tồn tại u và v thỏa mãn.

Kiến thức áp dụng

Nếu hai số có tổng bằng S, tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x² – S.x + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là : S² – 4P ≥ 0.

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 9 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán hình 9 và Toán đại 9. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 9 khác nhau.

 

 

#soanbaitap