Ôn tập chương II – Đường tròn - soanbaitap.com

1. Định nghĩa về đường tròn

Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O).

Nếu A nằm trên đường tròn (O; R) thì OA = R.

Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OA < R.

Nếu A nằm ngoài đường tròn (O; R) thì OA > R.

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

+ Trong một đường tròn:

⋅ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

⋅ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

+ Trong hai dây của một đường tròn:

⋅ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

⋅ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng Δ. Đặt d = d(O, Δ).

5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

+ Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+ Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

7. Đường tròn nội tiếp tam giác

+ Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

+ Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.

8. Đường tròn bàng tiếp tam giác

+ Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

+ Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.

+ Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).

9. Tính chất đường nối tâm

+ Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.

+ Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

10. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r). Đặt OO' = d.

11. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

+ Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

+ Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.

+ Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.

Câu 1: Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm chính là trung điểm của cạnh huyền

Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10, BC = 8. Chứng minh rằng A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó

Câu 3: Cho đường tròn tâm O bán kính là 5, dây AB = 8

a) Tính khoảng cách từ O đến AB

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1 , kẻ dây CD đi qua I vuông góc với AB. Chứng minh rằng AB = CD

Câu 4: Cho đường tròn (O; R) . Vẽ hai đường tròn bán kính OA, OB. Trên bán kính OA, OB lấy các điểm M, N sao cho OM = ON. Vẽ dây CD đi qua MN (M giữa C và N)

a) Chứng minh: CM = DN

b) Giả sử . Tính OM theo R sao cho CM = MN = ND

Câu 5: Cho hình thang vuông ABCD có A^=B^= 90°; BC = 2AD = 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC , M là trung điểm của HC . Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM

Câu 6: Cho hình thang vuông ABCD (A^=B^= 90°) có O là trung điểm của AB và góc . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Câu 7: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính r. Giả sử (I; r) tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F . Đặt AB = c, BC = a, AC = b, AD = x, BE = y, CF = z.

a) Hãy tính x, y, z theo a, b, c

b) Chứng minh S = p.r (trong đó S là diện tích tam giác p là nữa chu vi tam giác, r là bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác.

c) Chứng minh: trong đó (h_a; h_b; h_c) lần lượt là đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng với B qua H. Đường tròn tâm O đường kính EC cắt AC tại K. Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O) .

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH kẻ các tiếp tuyến BD, CE với (A) (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

Câu 10: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia Ax vuông góc với AB, By vuông góc với AB ở cùng phía với nửa đường tròn. I là một điểm thuộc trên nửa đường tròn. Tiếp tuyết tại I cắt Ax, By tại C và D.

a) CMR: Tam giác COD là tam giác vuông

b) Tìm vị trí điểm I để chu vi tứ giác ACDB là nhỏ nhất. Tính chu vi theo R.

Câu 11: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) . Các tiếp tuyến của (O) vẽ từ A và C cắt nhau tại M. Trên tia AM lấy điểm D sao cho AD = BC . Chứng minh: AC, BD, OM đồng quy

Bài 41 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1): Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).

b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Lời giải:

a)

IO = OB – IB => (I) tiếp xúc trong với (O).

OK = OC – KC => (K) tiếp xúc trong với (O)

IK = OH + KH => (I) tiếp xúc ngoài với (K)

c) ΔAHB vuông nên AE.AB = AH²

ΔAHC vuông nên AF.AC = AH²

Suy ra AE.AB = AF.AC

d) Gọi G là giao điểm của AH và EF

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật => AH = EF

Do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

e) - Cách 1:

Ta có: EF = AH ≤ OA (OA có độ dài không đổi)

Do đó EF lớn nhất khi AH = OA

<=> H trùng O hay dây AD đi qua O.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

- Cách 2: EF = AH = AD/2.

Do đó EF lớn nhất khi AD lớn nhất. Khi đó, dây AD là đường kính.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

Bài 42 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO'

c) OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO'

Lời giải:

a) MA và MB là các tiếp tuyến của (O) (gt).

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

MA = MB

MO là tia phân giác của góc AMB

ΔAMB cân tại M (MA = MB) mà có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao

=> MO ⊥ AB hay ∠MEA = 90^o

Tương tự ta có MO' là tia phân giác của góc AMC và ∠MFA = 90^o

MO, MO' là tia phân giác của hai góc kề bù ∠AMB và ∠AMC nên ∠EMF = 90^o

=> Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).

b) ME.MO = MA² (hệ thức lượng trong ΔMAO vuông)

MF.MO' = MA² (hệ thức lượng trong ΔMAO' vuông)

Suy ra ME.MO = MF.MO'

c) Đường tròn có đường kính BC có tâm M, bán kính MA.OO' vuông góc với MA tại A nên là tiếp tuyến của đường tròn (M).

d)

Gọi I là trung điểm của OO', I là tâm của đường tròn có đường kính OO', IM là bán kính (vì MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của MOO'. IM là đường trung bình của hình thang OBCO' nên IM // OB // O'C. Do đó IM ⊥ BC.

BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Bài 43 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO'. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O; R) và (O'; r) theo thứ tự C và D (khác A).

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.

Lời giải:

a) Kẻ OM ⊥ AD.

Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây, ta có: MA = MC

Tương tự, kẻ O'N ⊥ AD => NA = ND.

Ta có:

Vậy tứ giác OMNO' là hình thang vuông.

Ta còn có: IO = IO' (gt) và IA // OM

Do đó IA là đường trung bình của hình thang OMNO'.

=> AM = AN hay 2AM = 2AN

Hay AC = CD (đpcm)

b) Ta có OO' là đường nối tâm của (O) và (O') nên OO' là đường trung trực của AB.

Suy ra IE ⊥ AB và EA = EB

Ta lại có IA = IK (do K là điểm đối xứng của A qua I).

Nên IE là đường trung bình của tam giác AKB.

Suy ra IE // KB

Mà IE ⊥ AB

Suy ra KB ⊥ AB (đpcm)

Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 9 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán hình 9 và Toán đại 9. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 9 khác nhau.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#soanbaitap